Номер 214, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.8. Куб разности. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 214, страница 75.

Условие.

214*. Объясните с помощью рисунка 14, почему равенство

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

верно для положительных чисел a и b, a > b.

Перепишем левую часть равенства в виде

$a^3 - 3(a - b)ab - b^3.$

.......................

.......................

.......................

Рис. 14

Решение.

Решение 2.

Для объяснения данного тождества с помощью рисунка 14 используем геометрическую интерпретацию объемов. Равенство $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ можно доказать, рассмотрев объемы фигур, на которые можно разбить куб со стороной $a$.

Представим куб с длиной ребра $a$. Его объем равен $V_{большого} = a^3$. В условии задачи $a > b$, поэтому мы можем вырезать из одного угла этого большого куба малый куб с ребром $(a-b)$. Объем этого малого куба равен $V_{малого} = (a-b)^3$.

На рисунке 14 показана фигура, которая остается после мысленного удаления малого куба из большого. Эта фигура называется гномоном. Ее объем равен разности объемов большого и малого кубов: $V_{гномона} = V_{большого} - V_{малого} = a^3 - (a-b)^3$.

Теперь найдем объем этого гномона другим способом, разложив его на более простые части. Как видно из геометрии куба, гномон можно разбить на следующие семь непересекающихся фигур:

• Один куб с ребром $b$, расположенный в углу. Его объем равен $b^3$.
• Три одинаковых прямоугольных параллелепипеда с измерениями $(a-b) \times (a-b) \times b$. Суммарный объем этих трех параллелепипедов равен $3b(a-b)^2$.
• Три одинаковых прямоугольных параллелепипеда с измерениями $(a-b) \times b \times b$. Суммарный объем этих трех параллелепипедов равен $3b^2(a-b)$.

Следовательно, полный объем гномона равен сумме объемов этих семи частей:

$V_{гномона} = b^3 + 3b(a-b)^2 + 3b^2(a-b)$

Сгруппируем слагаемые, содержащие параллелепипеды, и вынесем общий множитель $3b(a-b)$:

$3b(a-b)^2 + 3b^2(a-b) = 3b(a-b)[(a-b) + b] = 3b(a-b) \cdot a = 3ab(a-b)$.

Таким образом, объем гномона можно записать как $V_{гномона} = 3ab(a-b) + b^3$.

Теперь у нас есть два выражения для объема гномона, которые мы можем приравнять:

$a^3 - (a-b)^3 = 3ab(a-b) + b^3$.

Из этого равенства выразим объем малого куба $(a-b)^3$:

$(a-b)^3 = a^3 - (3ab(a-b) + b^3) = a^3 - 3ab(a-b) - b^3$.

Это и есть преобразование, предложенное в условии задачи. Раскрыв скобки в правой части, мы получаем исходное тождество:

$(a-b)^3 = a^3 - (3a^2b - 3ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Это геометрическое доказательство подтверждает справедливость формулы куба разности для положительных $a$ и $b$ при $a>b$.

Ответ:
Равенство верно, так как оно является алгебраической записью геометрического факта. Объем большого куба со стороной $a$ ($V = a^3$) можно представить как сумму объемов составляющих его непересекающихся частей: одного куба со стороной $(a-b)$ (объем $(a-b)^3$), одного куба со стороной $b$ (объем $b^3$) и шести прямоугольных параллелепипедов, чей суммарный объем равен $3ab(a-b)$. Записав это в виде равенства объемов $a^3 = (a-b)^3 + b^3 + 3ab(a-b)$ и выразив из него $(a-b)^3$, мы получаем тождество $(a-b)^3 = a^3 - 3ab(a-b) - b^3$, которое после раскрытия скобок преобразуется к виду $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.