Номер 221, страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 221, страница 78.

Условие.

221*. Разложите на множители:

а) $a^2 - 2a - 3 = a^2 - 2a + 1 - 4 = (a - 1)^2 - 2^2 = (a - 1 - 2) \times (a - 1 + 2) = \ldots$

б) $a^2 - 2a - 3 = a^2 + a - 3a - 3 = \ldots$

в) $m^2 - 4m + 3 = \ldots$

г) $25y^2 - 24y - 1 = \ldots$

д) $x^4 - 5x^3 + 4x^2 = \ldots$

е) $z^3 + 7z^2 - z - 7 = \ldots$

Решение.

Решение 2.

а) $a^2 - 2a - 3 = a^2 - 2a + 1 - 4 = (a - 1)^2 - 2^2 = (a - 1 - 2)(a - 1 + 2) = (a - 3)(a + 1)$.
Данный метод называется выделением полного квадрата. Сначала мы представляем $-3$ как $+1 - 4$, чтобы получить формулу квадрата разности $(a-1)^2$. Затем применяем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Ответ: $(a - 3)(a + 1)$.

б) $a^2 - 2a - 3 = a^2 + a - 3a - 3 = (a^2 + a) - (3a + 3) = a(a + 1) - 3(a + 1) = (a - 3)(a + 1)$.
В этом способе мы раскладываем средний член $-2a$ на два слагаемых $a$ и $-3a$. Затем мы используем метод группировки: объединяем слагаемые в группы и выносим общий множитель из каждой группы. В конце выносим общий множитель-скобку.
Ответ: $(a - 3)(a + 1)$.

в) $m^2 - 4m + 3$.
Для разложения на множители представим средний член $-4m$ в виде суммы двух слагаемых: $-m - 3m$.
$m^2 - 4m + 3 = m^2 - m - 3m + 3$.
Сгруппируем слагаемые: $(m^2 - m) + (-3m + 3)$.
Вынесем общий множитель из каждой скобки: $m(m - 1) - 3(m - 1)$.
Теперь вынесем общий множитель $(m - 1)$ за скобки: $(m - 1)(m - 3)$.
Ответ: $(m - 1)(m - 3)$.

г) $25y^2 - 24y - 1$.
Представим средний член $-24y$ в виде суммы слагаемых $-25y + y$.
$25y^2 - 24y - 1 = 25y^2 - 25y + y - 1$.
Сгруппируем слагаемые: $(25y^2 - 25y) + (y - 1)$.
Вынесем общий множитель из каждой группы: $25y(y - 1) + 1(y - 1)$.
Вынесем общий множитель $(y - 1)$ за скобки: $(y - 1)(25y + 1)$.
Ответ: $(y - 1)(25y + 1)$.

д) $x^4 - 5x^3 + 4x^2$.
Сначала вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^4 - 5x^3 + 4x^2 = x^2(x^2 - 5x + 4)$.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 4$. Представим $-5x$ как $-x - 4x$:
$x^2 - 5x + 4 = x^2 - x - 4x + 4 = (x^2 - x) + (-4x + 4) = x(x - 1) - 4(x - 1) = (x - 1)(x - 4)$.
Подставим полученное разложение в исходное выражение: $x^2(x - 1)(x - 4)$.
Ответ: $x^2(x - 1)(x - 4)$.

е) $z^3 + 7z^2 - z - 7$.
Применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(z^3 + 7z^2) + (-z - 7)$.
Вынесем общий множитель из каждой группы:
$z^2(z + 7) - 1(z + 7)$.
Теперь вынесем общий множитель $(z + 7)$ за скобки:
$(z + 7)(z^2 - 1)$.
Выражение $z^2 - 1$ является разностью квадратов и раскладывается на множители: $z^2 - 1 = (z - 1)(z + 1)$.
Окончательное разложение: $(z + 7)(z - 1)(z + 1)$.
Ответ: $(z + 7)(z - 1)(z + 1)$.