Номер 227, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.1. Алгебраические дроби и их свойства. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 227, страница 6.

Условие.

227. Приведите дробь к знаменателю $(x - 1)(x + 1):$

a) $\frac{1}{x - 1} = \frac{\text{...}}{\text{...}};$

б) $\frac{1}{x + 1} = \frac{\text{...}}{\text{...}}$

в) $\frac{3x^{-1}}{1 - x} = \frac{-3x}{x - 1} = \frac{\text{...}}{\text{...}};$

г) $5 = \frac{5\text{...}}{1} = \text{...}$

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы привести дробь $\frac{1}{x-1}$ к знаменателю $(x-1)(x+1)$, необходимо определить дополнительный множитель. Для этого мы делим новый (требуемый) знаменатель на исходный знаменатель:

$\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$

Теперь нужно умножить и числитель, и знаменатель исходной дроби на этот дополнительный множитель $(x+1)$, чтобы значение дроби не изменилось:

$\frac{1}{x-1} = \frac{1 \cdot (x+1)}{(x-1) \cdot (x+1)} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$

Ответ: $\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$

б)

Чтобы привести дробь $\frac{1}{x+1}$ к знаменателю $(x-1)(x+1)$, найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на исходный:

$\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x-1$

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $(x-1)$:

$\frac{1}{x+1} = \frac{1 \cdot (x-1)}{(x+1) \cdot (x-1)} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$

Ответ: $\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$

в)

Исходная дробь $\frac{3x}{1-x}$. Сначала преобразуем ее знаменатель. Заметим, что $1-x = -(x-1)$. Мы можем вынести знак минус из знаменателя в числитель (или перед всей дробью):

$\frac{3x}{1-x} = \frac{3x}{-(x-1)} = \frac{-3x}{x-1}$

Теперь нужно привести дробь $\frac{-3x}{x-1}$ к знаменателю $(x-1)(x+1)$. Дополнительный множитель здесь, как и в пункте а), равен $(x+1)$.

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{-3x}{x-1}$ на $(x+1)$:

$\frac{-3x \cdot (x+1)}{(x-1) \cdot (x+1)} = \frac{-3x(x+1)}{(x-1)(x+1)}$

При желании можно раскрыть скобки в числителе: $\frac{-3x^2 - 3x}{(x-1)(x+1)}$.

Ответ: $\frac{-3x(x+1)}{(x-1)(x+1)}$

г)

Число 5 можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $5 = \frac{5}{1}$.

Чтобы привести эту дробь к знаменателю $(x-1)(x+1)$, нужно умножить ее числитель и знаменатель на всё выражение $(x-1)(x+1)$, которое и будет дополнительным множителем.

$\frac{5}{1} = \frac{5 \cdot (x-1)(x+1)}{1 \cdot (x-1)(x+1)} = \frac{5(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}$

Можно также использовать формулу разности квадратов $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$ и раскрыть скобки в числителе: $\frac{5(x^2 - 1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{5x^2 - 5}{(x-1)(x+1)}$.

Ответ: $\frac{5(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}$