Страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

7. Запишите произведение в виде степени:

$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5$

а) $5 \cdot 5 = \dots$

б) $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = \dots$

в) $(-17) \cdot (-17) = \dots$

г) $13 \cdot 13 \cdot 13 = \dots$

д) $8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = \dots$

е) $a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a = \dots$

ж) $b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b = \dots$

з) $c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c = \dots$

а) Чтобы записать произведение $5 \cdot 5$ в виде степени, нужно определить основание и показатель. Основание – это повторяющийся множитель, в данном случае 5. Показатель – это количество раз, которое множитель повторяется, в данном случае 2. Таким образом, произведение записывается как $5^2$.

Ответ: $5^2$.

б) В выражении $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)$ основанием степени является число (-1). Так как оно умножается само на себя 3 раза, показатель степени равен 3. Важно сохранить скобки, чтобы показать, что в степень возводится именно отрицательное число.

Ответ: $(-1)^3$.

в) В произведении $(-17) \cdot (-17)$ основанием степени является (-17), а показателем – 2, так как число умножается на себя дважды. Скобки необходимы, чтобы показать, что в степень возводится все число -17.

Ответ: $(-17)^2$.

г) Произведение $13 \cdot 13 \cdot 13$ состоит из трех одинаковых множителей, равных 13. Следовательно, основание степени равно 13, а показатель равен 3.

Ответ: $13^3$.

д) В выражении $8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8$ число 8 умножается на себя 4 раза. Значит, основание степени – 8, а показатель – 4.

Ответ: $8^4$.

е) В произведении $a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a$ переменная $a$ является основанием степени. Она повторяется 5 раз, поэтому показатель степени равен 5.

Ответ: $a^5$.

ж) В выражении $b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b$ основанием степени является переменная $b$. Она умножается сама на себя 6 раз, следовательно, показатель степени равен 6.

Ответ: $b^6$.

з) В произведении $c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c$ основание степени – это переменная $c$. Так как она встречается в произведении 7 раз, показатель степени равен 7.

Ответ: $c^7$.

8. Запишите степень в виде произведения:

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4$

а) $5^4 = \dots$

б) $7^4 = \dots$

в) $8^2 = \dots$

г) $(-5)^2 = \dots$

д) $(-9)^3 = \dots$

е) $m^4 = \dots$

ж) $n^3 = \dots$

з) $k^6 = \dots$

а) Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ ($n > 1$) называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$. В данном случае основание степени равно 5, а показатель степени равен 4. Это означает, что число 5 нужно умножить само на себя 4 раза.
$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$
Ответ: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

б) Основание степени равно 7, показатель степени равен 4. Следовательно, необходимо умножить число 7 само на себя 4 раза.
$7^4 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$
Ответ: $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$

в) Основание степени равно 8, показатель степени равен 2. Такую степень также называют "квадратом числа". Необходимо умножить число 8 само на себя 2 раза.
$8^2 = 8 \cdot 8$
Ответ: $8 \cdot 8$

г) Основание степени — отрицательное число -5, показатель степени равен 2. Необходимо умножить число -5 само на себя 2 раза.
$(-5)^2 = (-5) \cdot (-5)$
Ответ: $(-5) \cdot (-5)$

д) Основание степени равно -9, показатель степени равен 3. Такую степень также называют "кубом числа". Необходимо умножить число -9 само на себя 3 раза.
$(-9)^3 = (-9) \cdot (-9) \cdot (-9)$
Ответ: $(-9) \cdot (-9) \cdot (-9)$

е) Основание степени — переменная $m$, показатель степени равен 4. Необходимо умножить переменную $m$ саму на себя 4 раза.
$m^4 = m \cdot m \cdot m \cdot m$
Ответ: $m \cdot m \cdot m \cdot m$

ж) Основание степени — переменная $n$, показатель степени равен 3. Необходимо умножить переменную $n$ саму на себя 3 раза.
$n^3 = n \cdot n \cdot n$
Ответ: $n \cdot n \cdot n$

з) Основание степени — переменная $k$, показатель степени равен 6. Необходимо умножить переменную $k$ саму на себя 6 раз.
$k^6 = k \cdot k \cdot k \cdot k \cdot k \cdot k$
Ответ: $k \cdot k \cdot k \cdot k \cdot k \cdot k$

9. Вычислите:

$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

а) $(-3)^3 = \dots$

б) $(-10)^2 = \dots$

в) $10^2 = \dots$

г) $(-2)^1 = \dots$

д) $(-2)^2 = \dots$

е) $(-2)^3 = \dots$

ж) $(-2)^4 = \dots$

з) $(-2)^5 = \dots$

а) Чтобы вычислить $(-3)^3$, необходимо возвести число -3 в третью степень, то есть умножить его само на себя три раза.
$(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)$
Сначала перемножим первые два числа: $(-3) \cdot (-3) = 9$.
Затем умножим результат на оставшееся число: $9 \cdot (-3) = -27$.
Важно помнить, что отрицательное число в нечетной степени всегда дает отрицательный результат.
Ответ: -27

б) Чтобы вычислить $(-10)^2$, необходимо возвести число -10 во вторую степень, то есть умножить его само на себя.
$(-10)^2 = (-10) \cdot (-10) = 100$.
Отрицательное число в четной степени всегда дает положительный результат.
Ответ: 100

в) Чтобы вычислить $10^2$, необходимо возвести число 10 во вторую степень.
$10^2 = 10 \cdot 10 = 100$.
Ответ: 100

г) Чтобы вычислить $(-2)^1$, нужно вспомнить правило, что любое число в первой степени равно самому себе.
$(-2)^1 = -2$.
Ответ: -2

д) Чтобы вычислить $(-2)^2$, необходимо возвести число -2 во вторую степень.
$(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$.
Отрицательное число в четной степени дает положительный результат.
Ответ: 4

е) Чтобы вычислить $(-2)^3$, необходимо возвести число -2 в третью степень.
$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$.
Отрицательное число в нечетной степени дает отрицательный результат.
Ответ: -8

ж) Чтобы вычислить $(-2)^4$, необходимо возвести число -2 в четвертую степень.
$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot 4 = 16$.
Отрицательное число в четной степени дает положительный результат.
Ответ: 16

з) Чтобы вычислить $(-2)^5$, необходимо возвести число -2 в пятую степень.
$(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 \cdot (-2) = -32$.
Отрицательное число в нечетной степени дает отрицательный результат.
Ответ: -32

226. Приведите дробь к знаменателю $4x(x+1)$:

$\frac{3^{4(x+1)}}{x} = \frac{12(x+1)}{4x(x+1)}$

a) $\frac{5^{2x}}{2(x+1)} = \frac{\dots}{4x(x+1)}$

б) $\frac{7x-1^2}{2x(x+1)} = \frac{\dots}{4x(x+1)}$

В) $\frac{3^{x(x+1)}}{4} = \frac{\dots}{4x(x+1)}$

Общая задача — привести дроби к общему знаменателю $4x(x+1)$. Для этого необходимо для каждой дроби найти дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на исходный, а затем умножить числитель и знаменатель дроби на этот множитель.

a) Дана дробь $\frac{5}{2(x+1)}$.

1. Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель $4x(x+1)$ на исходный $2(x+1)$:

$\frac{4x(x+1)}{2(x+1)} = 2x$

2. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $2x$:

$\frac{5}{2(x+1)} = \frac{5 \cdot 2x}{2(x+1) \cdot 2x} = \frac{10x}{4x(x+1)}$

Ответ: $\frac{10x}{4x(x+1)}$

б) Дана дробь $\frac{7x-1}{2x(x+1)}$.

1. Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель $4x(x+1)$ на исходный $2x(x+1)$:

$\frac{4x(x+1)}{2x(x+1)} = 2$

2. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $2$:

$\frac{7x-1}{2x(x+1)} = \frac{(7x-1) \cdot 2}{2x(x+1) \cdot 2} = \frac{14x-2}{4x(x+1)}$

Ответ: $\frac{14x-2}{4x(x+1)}$

в) Дана дробь $\frac{3}{4}$.

1. Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель $4x(x+1)$ на исходный $4$:

$\frac{4x(x+1)}{4} = x(x+1)$

2. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $x(x+1)$:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot x(x+1)}{4 \cdot x(x+1)} = \frac{3x(x+1)}{4x(x+1)}$

Ответ: $\frac{3x(x+1)}{4x(x+1)}$

227. Приведите дробь к знаменателю $(x - 1)(x + 1):$

a) $\frac{1}{x - 1} = \frac{\text{...}}{\text{...}};$

б) $\frac{1}{x + 1} = \frac{\text{...}}{\text{...}}$

в) $\frac{3x^{-1}}{1 - x} = \frac{-3x}{x - 1} = \frac{\text{...}}{\text{...}};$

г) $5 = \frac{5\text{...}}{1} = \text{...}$

а)

Чтобы привести дробь $\frac{1}{x-1}$ к знаменателю $(x-1)(x+1)$, необходимо определить дополнительный множитель. Для этого мы делим новый (требуемый) знаменатель на исходный знаменатель:

$\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$

Теперь нужно умножить и числитель, и знаменатель исходной дроби на этот дополнительный множитель $(x+1)$, чтобы значение дроби не изменилось:

$\frac{1}{x-1} = \frac{1 \cdot (x+1)}{(x-1) \cdot (x+1)} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$

Ответ: $\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$

б)

Чтобы привести дробь $\frac{1}{x+1}$ к знаменателю $(x-1)(x+1)$, найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на исходный:

$\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x-1$

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $(x-1)$:

$\frac{1}{x+1} = \frac{1 \cdot (x-1)}{(x+1) \cdot (x-1)} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$

Ответ: $\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$

в)

Исходная дробь $\frac{3x}{1-x}$. Сначала преобразуем ее знаменатель. Заметим, что $1-x = -(x-1)$. Мы можем вынести знак минус из знаменателя в числитель (или перед всей дробью):

$\frac{3x}{1-x} = \frac{3x}{-(x-1)} = \frac{-3x}{x-1}$

Теперь нужно привести дробь $\frac{-3x}{x-1}$ к знаменателю $(x-1)(x+1)$. Дополнительный множитель здесь, как и в пункте а), равен $(x+1)$.

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{-3x}{x-1}$ на $(x+1)$:

$\frac{-3x \cdot (x+1)}{(x-1) \cdot (x+1)} = \frac{-3x(x+1)}{(x-1)(x+1)}$

При желании можно раскрыть скобки в числителе: $\frac{-3x^2 - 3x}{(x-1)(x+1)}$.

Ответ: $\frac{-3x(x+1)}{(x-1)(x+1)}$

г)

Число 5 можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $5 = \frac{5}{1}$.

Чтобы привести эту дробь к знаменателю $(x-1)(x+1)$, нужно умножить ее числитель и знаменатель на всё выражение $(x-1)(x+1)$, которое и будет дополнительным множителем.

$\frac{5}{1} = \frac{5 \cdot (x-1)(x+1)}{1 \cdot (x-1)(x+1)} = \frac{5(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}$

Можно также использовать формулу разности квадратов $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$ и раскрыть скобки в числителе: $\frac{5(x^2 - 1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{5x^2 - 5}{(x-1)(x+1)}$.

Ответ: $\frac{5(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}$