Страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

23. Выполните действия:

а) $\frac{1}{33} + \frac{5}{99} =$

б) $\frac{1}{33} + \frac{5}{44} =$

в) $\frac{11}{60} - \frac{1}{12} =$

г) $\frac{5}{14} - \frac{1}{21} =$

д) $\frac{5}{36} \cdot 6 =$

е) $8 \cdot \frac{3}{40} =$

ж) $\frac{35}{34} : 5 =$

з) $25 : \frac{5}{11} =$

а) Для того чтобы сложить дроби $\frac{1}{33}$ и $\frac{5}{99}$, их необходимо привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 33 и 99 равен 99. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, чтобы ее знаменатель стал равен 99: $\frac{1 \cdot 3}{33 \cdot 3} = \frac{3}{99}$. Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями: $\frac{3}{99} + \frac{5}{99} = \frac{3+5}{99} = \frac{8}{99}$. Ответ: $\frac{8}{99}$

б) Для сложения дробей $\frac{1}{33}$ и $\frac{5}{44}$ найдем их наименьший общий знаменатель (НОЗ). Разложим знаменатели на простые множители: $33 = 3 \cdot 11$, $44 = 2^2 \cdot 11$. НОЗ(33, 44) = $2^2 \cdot 3 \cdot 11 = 4 \cdot 3 \cdot 11 = 132$. Приведем дроби к знаменателю 132. Дополнительный множитель для первой дроби: $132 : 33 = 4$. Дополнительный множитель для второй дроби: $132 : 44 = 3$. Получаем: $\frac{1 \cdot 4}{33 \cdot 4} + \frac{5 \cdot 3}{44 \cdot 3} = \frac{4}{132} + \frac{15}{132} = \frac{4+15}{132} = \frac{19}{132}$. Ответ: $\frac{19}{132}$

в) Чтобы выполнить вычитание $\frac{11}{60} - \frac{1}{12}$, приведем дроби к общему знаменателю. НОЗ для 60 и 12 равен 60. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на 5: $\frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{5}{60}$. Теперь выполним вычитание: $\frac{11}{60} - \frac{5}{60} = \frac{11-5}{60} = \frac{6}{60}$. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 6: $\frac{6:6}{60:6} = \frac{1}{10}$. Ответ: $\frac{1}{10}$

г) Для вычитания дробей $\frac{5}{14} - \frac{1}{21}$ найдем НОЗ для 14 и 21. Разложим знаменатели на множители: $14 = 2 \cdot 7$, $21 = 3 \cdot 7$. НОЗ(14, 21) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$. Приведем дроби к знаменателю 42: $\frac{5 \cdot 3}{14 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{15}{42} - \frac{2}{42} = \frac{15-2}{42} = \frac{13}{42}$. Ответ: $\frac{13}{42}$

д) Чтобы умножить дробь на целое число, нужно умножить числитель дроби на это число, а знаменатель оставить без изменений: $\frac{5}{36} \cdot 6 = \frac{5 \cdot 6}{36} = \frac{30}{36}$. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 30 и 36 равен 6. $\frac{30:6}{36:6} = \frac{5}{6}$. Ответ: $\frac{5}{6}$

е) Чтобы умножить целое число на дробь, нужно это число умножить на числитель дроби, а знаменатель оставить прежним: $8 \cdot \frac{3}{40} = \frac{8 \cdot 3}{40} = \frac{24}{40}$. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 24 и 40 равен 8. $\frac{24:8}{40:8} = \frac{3}{5}$. Ответ: $\frac{3}{5}$

ж) Чтобы разделить дробь на целое число, нужно умножить знаменатель дроби на это число, а числитель оставить без изменений: $\frac{35}{34} : 5 = \frac{35}{34 \cdot 5}$. Перед вычислением можно сократить 35 в числителе и 5 в знаменателе на 5: $\frac{35:5}{34 \cdot (5:5)} = \frac{7}{34 \cdot 1} = \frac{7}{34}$. Ответ: $\frac{7}{34}$

з) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю (перевернутую дробь): $25 : \frac{5}{11} = 25 \cdot \frac{11}{5}$. Представим 25 как $\frac{25}{1}$ и выполним умножение: $\frac{25}{1} \cdot \frac{11}{5} = \frac{25 \cdot 11}{1 \cdot 5}$. Сократим 25 и 5 на 5: $\frac{(25:5) \cdot 11}{1} = 5 \cdot 11 = 55$. Ответ: 55

24. Запишите десятичную дробь в виде несократимой обыкновенной дроби:

$0,48 = \frac{48}{100} = \frac{12 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{12}{25}$

а) $0,25 =$ ..................

б) $0,2 =$ .....................

в) $0,5 =$ ....................

г) $0,45 =$ ....................

д) $0,12 =$ ...................

а) 0,25 = Чтобы записать десятичную дробь 0,25 в виде несократимой обыкновенной дроби, представим ее как дробь со знаменателем 100, так как в дробной части два знака: $ 0,25 = \frac{25}{100} $. Затем сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель (НОД) для числителя 25 и знаменателя 100 равен 25. Разделим числитель и знаменатель на 25: $ \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $

б) 0,2 = Представим десятичную дробь 0,2 в виде обыкновенной дроби со знаменателем 10, так как в дробной части один знак: $ 0,2 = \frac{2}{10} $. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их НОД, который равен 2: $ \frac{2 \div 2}{10 \div 2} = \frac{1}{5} $.
Ответ: $ \frac{1}{5} $

в) 0,5 = Представим 0,5 в виде дроби со знаменателем 10: $ 0,5 = \frac{5}{10} $. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их НОД, равный 5: $ \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

г) 0,45 = Представим 0,45 в виде дроби со знаменателем 100, так как в дробной части два знака: $ 0,45 = \frac{45}{100} $. Сократим дробь. НОД для 45 и 100 равен 5. Разделим числитель и знаменатель на 5: $ \frac{45 \div 5}{100 \div 5} = \frac{9}{20} $.
Ответ: $ \frac{9}{20} $

д) 0,12 = Представим 0,12 в виде дроби со знаменателем 100: $ 0,12 = \frac{12}{100} $. Сократим дробь. НОД для 12 и 100 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4: $ \frac{12 \div 4}{100 \div 4} = \frac{3}{25} $.
Ответ: $ \frac{3}{25} $

25. Запишите обыкновенную дробь в виде десятичной дроби:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75$

а) $\frac{11}{25} = \ldots$

б) $\frac{1}{2} = \ldots$

в) $\frac{3}{5} = \ldots$

г) $\frac{3}{8} = \ldots$

д) $\frac{3}{12} = \ldots$

а) Чтобы представить обыкновенную дробь $ \frac{11}{25} $ в виде десятичной, нужно привести знаменатель к числу, которое является степенью 10 (например, 10, 100, 1000 и т.д.). Умножим числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы в знаменателе получилось 100. Это число 4, так как $ 25 \cdot 4 = 100 $.
$ \frac{11}{25} = \frac{11 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{44}{100} = 0,44 $
Ответ: 0,44

б) Чтобы представить дробь $ \frac{1}{2} $ в виде десятичной, приведем знаменатель к 10. Для этого умножим числитель и знаменатель на 5.
$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} = 0,5 $
Ответ: 0,5

в) Чтобы представить дробь $ \frac{3}{5} $ в виде десятичной, приведем знаменатель к 10. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2.
$ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} = 0,6 $
Ответ: 0,6

г) Чтобы представить дробь $ \frac{3}{8} $ в виде десятичной, нужно привести знаменатель к степени 10. Знаменатель 8 можно привести к 1000, умножив его на 125 ($ 8 \cdot 125 = 1000 $). Умножим на 125 и числитель, и знаменатель.
$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{375}{1000} = 0,375 $
Ответ: 0,375

д) Сначала упростим (сократим) дробь $ \frac{3}{12} $. И числитель, и знаменатель делятся на 3.
$ \frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4} $
Теперь представим полученную дробь $ \frac{1}{4} $ в виде десятичной. Для этого приведем знаменатель к 100, умножив числитель и знаменатель на 25.
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 0,25 $
Ответ: 0,25

26. Учитель проверил $\frac{5}{8}$ числа всех тетрадей. Сколько тетрадей ему осталось проверить, если всего было 32 тетради?

1) .................. (тетр.) — проверил учитель;

2) .................. (тетр.) — осталось проверить учителю.

Ответ. ..................... тетрадей.

1) Чтобы узнать, сколько тетрадей проверил учитель, необходимо найти $\frac{5}{8}$ от общего количества тетрадей (32). Для этого умножим общее число тетрадей на эту дробь:
$32 \cdot \frac{5}{8} = \frac{32 \cdot 5}{8} = 4 \cdot 5 = 20$ (тетр.) — проверил учитель.
Ответ: 20

2) Чтобы найти, сколько тетрадей осталось проверить, нужно из общего количества тетрадей (32) вычесть количество уже проверенных тетрадей (20):
$32 - 20 = 12$ (тетр.) — осталось проверить учителю.
Ответ: 12

Ответ: 12 тетрадей.

238. Выполните действия:

а) $\frac{x^2 - 9}{2x + 6} : \frac{x - 3}{x + 3} = \dots$

б) $\frac{x^2 + x}{x - 7} : \frac{3x + 3}{2x - 14} = \dots$

в) $\frac{x^2 + 2x}{x^2 - x} : \frac{2x + 4}{x - 1} = \dots$

г) $\frac{x + 12}{x - 4} : \frac{3x + 36}{x^2 - 4x} = \dots$

д) $\frac{5x}{x - 1} : \frac{5x^2 + 5x}{2x - 2} = \dots$

е) $\frac{2x - 4}{2x + 5} : \frac{2x^2 - 4x}{6x + 15} = \dots$

ж) $\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 2x + 1} : \frac{x + 1}{x - 1} = \dots$

з) $\frac{x + 5}{x + 3} : \frac{x^2 + 10x + 25}{x^2 + 6x + 9} = \dots$

а) Для того чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):
$\frac{x^2 - 9}{2x + 6} : \frac{x - 3}{x + 3} = \frac{x^2 - 9}{2x + 6} \cdot \frac{x + 3}{x - 3}$
Теперь разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы можно было сократить дробь. Числитель первой дроби является разностью квадратов $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$. В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель за скобки: $2x+6 = 2(x+3)$.
Подставим полученные выражения:
$\frac{(x-3)(x+3)}{2(x+3)} \cdot \frac{x+3}{x-3}$
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{(x-3)}\cancel{(x+3)}(x+3)}{2\cancel{(x+3)}\cancel{(x-3)}} = \frac{x+3}{2}$
Ответ: $\frac{x+3}{2}$

б) Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{x^2 + x}{x - 7} : \frac{3x + 3}{2x - 14} = \frac{x^2 + x}{x - 7} \cdot \frac{2x - 14}{3x + 3}$
Разложим числители и знаменатели на множители:
$x^2 + x = x(x+1)$
$2x - 14 = 2(x-7)$
$3x + 3 = 3(x+1)$
Подставим и выполним умножение и сокращение:
$\frac{x(x+1)}{x - 7} \cdot \frac{2(x-7)}{3(x+1)} = \frac{2x\cancel{(x+1)}\cancel{(x-7)}}{3\cancel{(x-7)}\cancel{(x+1)}} = \frac{2x}{3}$
Ответ: $\frac{2x}{3}$

в) Заменяем деление на умножение на обратную дробь и раскладываем на множители:
$\frac{x^2 + 2x}{x^2 - x} : \frac{2x + 4}{x - 1} = \frac{x^2 + 2x}{x^2 - x} \cdot \frac{x - 1}{2x + 4} = \frac{x(x+2)}{x(x-1)} \cdot \frac{x-1}{2(x+2)}$
Сокращаем общие множители $x$, $(x+2)$ и $(x-1)$:
$\frac{\cancel{x}\cancel{(x+2)}\cancel{(x-1)}}{\cancel{x}\cancel{(x-1)} \cdot 2\cancel{(x+2)}} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Заменяем деление на умножение и раскладываем на множители:
$\frac{x + 12}{x - 4} : \frac{3x + 36}{x^2 - 4x} = \frac{x + 12}{x - 4} \cdot \frac{x^2 - 4x}{3x + 36} = \frac{x + 12}{x - 4} \cdot \frac{x(x - 4)}{3(x + 12)}$
Сокращаем общие множители $(x+12)$ и $(x-4)$:
$\frac{\cancel{(x + 12)} \cdot x\cancel{(x - 4)}}{\cancel{(x - 4)} \cdot 3\cancel{(x + 12)}} = \frac{x}{3}$
Ответ: $\frac{x}{3}$

д) Заменяем деление на умножение и раскладываем на множители:
$\frac{5x}{x - 1} : \frac{5x^2 + 5x}{2x - 2} = \frac{5x}{x - 1} \cdot \frac{2x - 2}{5x^2 + 5x} = \frac{5x}{x - 1} \cdot \frac{2(x-1)}{5x(x+1)}$
Сокращаем общие множители $5x$ и $(x-1)$:
$\frac{\cancel{5x} \cdot 2\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x - 1)} \cdot \cancel{5x}(x+1)} = \frac{2}{x+1}$
Ответ: $\frac{2}{x+1}$

е) Заменяем деление на умножение и раскладываем на множители:
$\frac{2x - 4}{2x + 5} : \frac{2x^2 - 4x}{6x + 15} = \frac{2x - 4}{2x + 5} \cdot \frac{6x + 15}{2x^2 - 4x} = \frac{2(x-2)}{2x+5} \cdot \frac{3(2x+5)}{2x(x-2)}$
Сокращаем общие множители $2$, $(x-2)$ и $(2x+5)$:
$\frac{\cancel{2}\cancel{(x-2)} \cdot 3\cancel{(2x+5)}}{\cancel{(2x+5)} \cdot \cancel{2}x\cancel{(x-2)}} = \frac{3}{x}$
Ответ: $\frac{3}{x}$

ж) Заменяем деление на умножение. Числитель и знаменатель первой дроби являются полными квадратами: $x^2+2x+1=(x+1)^2$ и $x^2-2x+1=(x-1)^2$.
$\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 2x + 1} : \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2} \cdot \frac{x-1}{x+1}$
Сокращаем дроби, учитывая степени:
$\frac{(x+1)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{(x-1)}}{(x-1)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{(x+1)}} = \frac{x+1}{x-1}$
Ответ: $\frac{x+1}{x-1}$

з) Заменяем деление на умножение. Числитель и знаменатель второй дроби являются полными квадратами: $x^2+10x+25=(x+5)^2$ и $x^2+6x+9=(x+3)^2$.
$\frac{x + 5}{x + 3} : \frac{x^2 + 10x + 25}{x^2 + 6x + 9} = \frac{x + 5}{x + 3} \cdot \frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 10x + 25} = \frac{x+5}{x+3} \cdot \frac{(x+3)^2}{(x+5)^2}$
Сокращаем дроби, учитывая степени:
$\frac{\cancel{(x+5)} \cdot (x+3)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x+3)} \cdot (x+5)^{\cancel{2}}} = \frac{x+3}{x+5}$
Ответ: $\frac{x+3}{x+5}$

239. Преобразуйте в алгебраическую дробь:

a) $\frac{x^2 - 1}{2x + 6} \cdot (x + 3) = $

б) $\frac{x^2 + x}{x - 7} : (x + 1) = $

в) $\frac{x + 2}{x^2 - x} \cdot (2x - 2) = $

г) $\frac{3x - 6}{x - 4} : (2x - 4) = $

д) $(x^2 - 1) \cdot \frac{3x}{2x - 2} = $

е) $(x^2 - 1) : \frac{2x^2 - 2}{7x + 5} = $

ж) $(x^2 + 4x + 4) \cdot \frac{x + 1}{2x + 4} = $

з) $(x^2 - 6x + 9) : \frac{x^2 - 9}{6x + 1} = $

а) Чтобы преобразовать данное выражение в алгебраическую дробь, представим множитель $(x + 3)$ в виде дроби $\frac{x+3}{1}$. Затем разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители. Числитель $x^2 - 1$ является разностью квадратов и раскладывается как $(x-1)(x+1)$. В знаменателе $2x + 6$ вынесем общий множитель 2 за скобки, получив $2(x+3)$.

$\frac{x^2 - 1}{2x + 6} \cdot (x + 3) = \frac{(x-1)(x+1)}{2(x+3)} \cdot \frac{x+3}{1}$

Теперь перемножим дроби и сократим общий множитель $(x+3)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(x-1)(x+1)(x+3)}{2(x+3)} = \frac{(x-1)(x+1)}{2}$

Раскроем скобки в числителе для получения окончательного вида дроби:

$\frac{x^2-1}{2}$

Ответ: $\frac{x^2 - 1}{2}$

б) Для выполнения деления на выражение $(x+1)$, мы умножаем исходную дробь на обратное к $(x+1)$ выражение, то есть на $\frac{1}{x+1}$.

$\frac{x^2 + x}{x - 7} : (x + 1) = \frac{x^2 + x}{x - 7} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Разложим на множители числитель первой дроби, вынеся общий множитель $x$: $x^2 + x = x(x+1)$.

$\frac{x(x+1)}{x - 7} \cdot \frac{1}{x + 1} = \frac{x(x+1)}{(x - 7)(x+1)}$

Сокращаем общий множитель $(x+1)$:

$\frac{x}{x-7}$

Ответ: $\frac{x}{x-7}$

в) Представим множитель $(2x - 2)$ в виде дроби $\frac{2x-2}{1}$ и разложим на множители все возможные части выражения. В знаменателе $x^2 - x$ вынесем $x$ за скобки: $x(x-1)$. В выражении $2x - 2$ вынесем 2 за скобки: $2(x-1)$.

$\frac{x + 2}{x^2 - x} \cdot (2x - 2) = \frac{x + 2}{x(x-1)} \cdot \frac{2(x-1)}{1}$

Перемножим дроби и сократим общий множитель $(x-1)$:

$\frac{2(x + 2)(x-1)}{x(x-1)} = \frac{2(x+2)}{x}$

Ответ: $\frac{2(x+2)}{x}$

г) Деление на выражение $(2x-4)$ заменяем умножением на обратную дробь $\frac{1}{2x-4}$.

$\frac{3x - 6}{x - 4} : (2x - 4) = \frac{3x - 6}{x - 4} \cdot \frac{1}{2x - 4}$

Разложим числитель первой дроби и знаменатель второй на множители. $3x-6 = 3(x-2)$ и $2x-4 = 2(x-2)$.

$\frac{3(x-2)}{x-4} \cdot \frac{1}{2(x-2)} = \frac{3(x-2)}{2(x-4)(x-2)}$

Сокращаем общий множитель $(x-2)$:

$\frac{3}{2(x-4)}$

Ответ: $\frac{3}{2(x-4)}$

д) Представим первый множитель $(x^2 - 1)$ в виде дроби $\frac{x^2-1}{1}$. Разложим его на множители по формуле разности квадратов: $(x-1)(x+1)$. В знаменателе второй дроби $2x-2$ вынесем общий множитель 2: $2(x-1)$.

$(x^2 - 1) \cdot \frac{3x}{2x - 2} = \frac{(x-1)(x+1)}{1} \cdot \frac{3x}{2(x-1)}$

Перемножим дроби и сократим общий множитель $(x-1)$:

$\frac{3x(x-1)(x+1)}{2(x-1)} = \frac{3x(x+1)}{2}$

Ответ: $\frac{3x(x+1)}{2}$

е) Деление на дробь заменяем умножением на обратную (перевернутую) дробь.

$(x^2 - 1) : \frac{2x^2 - 2}{7x + 5} = \frac{x^2 - 1}{1} \cdot \frac{7x + 5}{2x^2 - 2}$

Разложим на множители $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ и $2x^2-2 = 2(x^2-1) = 2(x-1)(x+1)$.

$\frac{(x-1)(x+1)}{1} \cdot \frac{7x + 5}{2(x-1)(x+1)}$

Сокращаем общие множители $(x-1)$ и $(x+1)$:

$\frac{7x+5}{2}$

Ответ: $\frac{7x+5}{2}$

ж) Выражение $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом суммы $(x+2)^2$. В знаменателе дроби $2x+4$ вынесем 2 за скобки: $2(x+2)$.

$(x^2 + 4x + 4) \cdot \frac{x + 1}{2x + 4} = \frac{(x+2)^2}{1} \cdot \frac{x+1}{2(x+2)}$

Перемножим и сократим на общий множитель $(x+2)$:

$\frac{(x+2)^2(x+1)}{2(x+2)} = \frac{(x+2)(x+1)}{2}$

Ответ: $\frac{(x+2)(x+1)}{2}$

з) Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь. Выражение $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности $(x-3)^2$. Выражение $x^2-9$ является разностью квадратов $(x-3)(x+3)$.

$(x^2 - 6x + 9) : \frac{x^2 - 9}{6x + 1} = \frac{(x-3)^2}{1} \cdot \frac{6x+1}{x^2-9} = \frac{(x-3)^2}{1} \cdot \frac{6x+1}{(x-3)(x+3)}$

Перемножим дроби и сократим на общий множитель $(x-3)$:

$\frac{(x-3)^2(6x+1)}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x-3)(6x+1)}{x+3}$

Ответ: $\frac{(x-3)(6x+1)}{x+3}$