Страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

21. Сократите дробь:

$\frac{48}{36} = \frac{12 \cdot 4}{12 \cdot 3} = \frac{4}{3}$

а) $\frac{32}{48} = \dots$

б) $\frac{25}{35} = \dots$

в) $\frac{42}{49} = \dots$

г) $\frac{72}{81} = \dots$

д) $\frac{64}{72} = \dots$

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{32}{48} $, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) числителя 32 и знаменателя 48. Мы видим, что оба числа делятся на 16. Представим числитель и знаменатель в виде произведения: $ 32 = 2 \cdot 16 $ и $ 48 = 3 \cdot 16 $. Теперь разделим числитель и знаменатель на их общий множитель 16: $ \frac{32}{48} = \frac{2 \cdot 16}{3 \cdot 16} = \frac{2}{3} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} $

б) Для сокращения дроби $ \frac{25}{35} $ найдем общий делитель для 25 и 35. Оба числа оканчиваются на 5, следовательно, они делятся на 5, который и является их НОД. Разложим их на множители: $ 25 = 5 \cdot 5 $ и $ 35 = 5 \cdot 7 $. Сократим дробь на общий множитель 5: $ \frac{25}{35} = \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 7} = \frac{5}{7} $.
Ответ: $ \frac{5}{7} $

в) Сократим дробь $ \frac{42}{49} $. Найдем НОД для числителя 42 и знаменателя 49. Мы знаем, что оба числа делятся на 7. Представим их в виде произведения: $ 42 = 6 \cdot 7 $ и $ 49 = 7 \cdot 7 $. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 7: $ \frac{42}{49} = \frac{6 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{6}{7} $.
Ответ: $ \frac{6}{7} $

г) Для сокращения дроби $ \frac{72}{81} $ найдем НОД для 72 и 81. Сумма цифр каждого числа делится на 9, значит и сами числа делятся на 9. Разложим их на множители: $ 72 = 8 \cdot 9 $ и $ 81 = 9 \cdot 9 $. Разделим числитель и знаменатель на общий множитель 9: $ \frac{72}{81} = \frac{8 \cdot 9}{9 \cdot 9} = \frac{8}{9} $.
Ответ: $ \frac{8}{9} $

д) Сократим дробь $ \frac{64}{72} $. Найдем НОД для 64 и 72. Оба числа делятся на 8. Представим их в виде произведения: $ 64 = 8 \cdot 8 $ и $ 72 = 8 \cdot 9 $. Сократим дробь на общий множитель 8: $ \frac{64}{72} = \frac{8 \cdot 8}{8 \cdot 9} = \frac{8}{9} $.
Ответ: $ \frac{8}{9} $

22. Выполните действия и сократите полученную дробь, если это возможно:

а) $\frac{31}{48} + \frac{5}{48} =$

б) $\frac{12}{39} + \frac{1}{39} =$

в) $\frac{31}{39} - \frac{5}{39} =$

г) $\frac{37}{72} - \frac{25}{72} =$

д) $\frac{33}{35} \cdot \frac{5}{44} =$

е) $\frac{30}{39} \cdot \frac{26}{40} =$

ж) $\frac{35}{34} : \frac{7}{17} =$

з) $\frac{25}{39} : \frac{5}{13} =$

а) $\frac{31}{48} + \frac{5}{48}$

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним:

$\frac{31 + 5}{48} = \frac{36}{48}$

Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя равен 12. Разделим числитель и знаменатель на 12:

$\frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

б) $\frac{12}{39} + \frac{1}{39}$

Складываем числители, так как знаменатели одинаковые:

$\frac{12 + 1}{39} = \frac{13}{39}$

Сократим дробь. НОД(13, 39) = 13. Делим числитель и знаменатель на 13:

$\frac{13 \div 13}{39 \div 13} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

в) $\frac{31}{39} - \frac{5}{39}$

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить без изменений:

$\frac{31 - 5}{39} = \frac{26}{39}$

Сократим дробь. НОД(26, 39) = 13. Делим числитель и знаменатель на 13:

$\frac{26 \div 13}{39 \div 13} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

г) $\frac{37}{72} - \frac{25}{72}$

Вычитаем числители, так как знаменатели одинаковые:

$\frac{37 - 25}{72} = \frac{12}{72}$

Сократим дробь. НОД(12, 72) = 12. Делим числитель и знаменатель на 12:

$\frac{12 \div 12}{72 \div 12} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

д) $\frac{33}{35} \cdot \frac{5}{44}$

Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели. Перед вычислением можно выполнить сокращение:

$\frac{33}{35} \cdot \frac{5}{44} = \frac{33 \cdot 5}{35 \cdot 44} = \frac{(3 \cdot 11) \cdot 5}{(5 \cdot 7) \cdot (4 \cdot 11)}$

Сокращаем общие множители 11 и 5 в числителе и знаменателе:

$\frac{3 \cdot \sout{11} \cdot \sout{5}}{\sout{5} \cdot 7 \cdot 4 \cdot \sout{11}} = \frac{3}{7 \cdot 4} = \frac{3}{28}$

Ответ: $\frac{3}{28}$

е) $\frac{30}{39} \cdot \frac{26}{40}$

Перемножаем числители и знаменатели и проводим сокращение:

$\frac{30 \cdot 26}{39 \cdot 40} = \frac{(3 \cdot 10) \cdot (2 \cdot 13)}{(3 \cdot 13) \cdot (4 \cdot 10)}$

Сокращаем общие множители 3, 10 и 13:

$\frac{\sout{3} \cdot \sout{10} \cdot 2 \cdot \sout{13}}{\sout{3} \cdot \sout{13} \cdot 4 \cdot \sout{10}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

ж) $\frac{35}{34} \div \frac{7}{17}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$\frac{35}{34} \cdot \frac{17}{7} = \frac{35 \cdot 17}{34 \cdot 7}$

Сократим, зная что $35 = 5 \cdot 7$ и $34 = 2 \cdot 17$:

$\frac{(5 \cdot 7) \cdot 17}{(2 \cdot 17) \cdot 7} = \frac{5 \cdot \sout{7} \cdot \sout{17}}{2 \cdot \sout{17} \cdot \sout{7}} = \frac{5}{2}$

Ответ: $\frac{5}{2}$

з) $\frac{25}{39} \div \frac{5}{13}$

Деление заменяем умножением на обратную дробь:

$\frac{25}{39} \cdot \frac{13}{5} = \frac{25 \cdot 13}{39 \cdot 5}$

Сократим, зная что $25 = 5 \cdot 5$ и $39 = 3 \cdot 13$:

$\frac{(5 \cdot 5) \cdot 13}{(3 \cdot 13) \cdot 5} = \frac{5 \cdot \sout{5} \cdot \sout{13}}{3 \cdot \sout{13} \cdot \sout{5}} = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$

236. Выполните действия:

а) $ \frac{2x + 6}{x^2 - 1} \cdot \frac{x^2 - x}{x + 3} = \dots $

б) $ \frac{x^2 + x}{x - 2} \cdot \frac{2x - 4}{x^2 - 1} = \dots $

в) $ \frac{3x + 6}{2x^2 - 2x} \cdot \frac{x - 1}{x + 2} = \dots $

г) $ \frac{x + 12}{x - 4} \cdot \frac{5x - 20}{x^2 + 12x} = \dots $

д) $ \frac{5x}{x - 1} \cdot \frac{6x - 6}{5x^2 + 5x} = \dots $

е) $ \frac{3x - 3}{2x + 4} \cdot \frac{2x^2 + 4x}{7x - 7} = \dots $

ж) $ \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 2x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x + 1} = \dots $

з) $ \frac{x + 6}{x + 1} \cdot \frac{5x + 5}{x^2 + 12x + 36} = \dots $

а) $\frac{2x+6}{x^2-1} \cdot \frac{x^2-x}{x+3}$
Для выполнения умножения дробей разложим их числители и знаменатели на множители.
$2x+6 = 2(x+3)$
$x^2-1 = (x-1)(x+1)$ (применяем формулу разности квадратов)
$x^2-x = x(x-1)$
Подставим полученные выражения обратно в пример:
$\frac{2(x+3)}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x(x-1)}{x+3}$
Сократим общие множители $(x+3)$ и $(x-1)$:
$\frac{2 \cdot x}{(x+1)} = \frac{2x}{x+1}$
Ответ: $\frac{2x}{x+1}$

б) $\frac{x^2+x}{x-2} \cdot \frac{2x-4}{x^2-1}$
Разложим на множители числители и знаменатели:
$x^2+x = x(x+1)$
$2x-4 = 2(x-2)$
$x^2-1 = (x-1)(x+1)$ (формула разности квадратов)
Подставляем разложения в исходное выражение:
$\frac{x(x+1)}{x-2} \cdot \frac{2(x-2)}{(x-1)(x+1)}$
Сокращаем общие множители $(x+1)$ и $(x-2)$:
$\frac{x \cdot 2}{x-1} = \frac{2x}{x-1}$
Ответ: $\frac{2x}{x-1}$

в) $\frac{3x+6}{2x^2-2x} \cdot \frac{x-1}{x+2}$
Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби:
$3x+6 = 3(x+2)$
$2x^2-2x = 2x(x-1)$
Подставим в выражение:
$\frac{3(x+2)}{2x(x-1)} \cdot \frac{x-1}{x+2}$
Сокращаем общие множители $(x+2)$ и $(x-1)$:
$\frac{3}{2x}$
Ответ: $\frac{3}{2x}$

г) $\frac{x+12}{x-4} \cdot \frac{5x-20}{x^2+12x}$
Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби:
$5x-20 = 5(x-4)$
$x^2+12x = x(x+12)$
Подставим в выражение:
$\frac{x+12}{x-4} \cdot \frac{5(x-4)}{x(x+12)}$
Сокращаем общие множители $(x+12)$ и $(x-4)$:
$\frac{5}{x}$
Ответ: $\frac{5}{x}$

д) $\frac{5x}{x-1} \cdot \frac{6x-6}{5x^2+5x}$
Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби:
$6x-6 = 6(x-1)$
$5x^2+5x = 5x(x+1)$
Подставим в выражение:
$\frac{5x}{x-1} \cdot \frac{6(x-1)}{5x(x+1)}$
Сокращаем общие множители $5x$ и $(x-1)$:
$\frac{6}{x+1}$
Ответ: $\frac{6}{x+1}$

е) $\frac{3x-3}{2x+4} \cdot \frac{2x^2+4x}{7x-7}$
Разложим на множители все числители и знаменатели:
$3x-3 = 3(x-1)$
$2x+4 = 2(x+2)$
$2x^2+4x = 2x(x+2)$
$7x-7 = 7(x-1)$
Подставим в выражение:
$\frac{3(x-1)}{2(x+2)} \cdot \frac{2x(x+2)}{7(x-1)}$
Сокращаем общие множители $(x-1)$, $(x+2)$ и $2$:
$\frac{3 \cdot x}{7} = \frac{3x}{7}$
Ответ: $\frac{3x}{7}$

ж) $\frac{x^2+2x+1}{x^2-2x+1} \cdot \frac{x-1}{x+1}$
Разложим числитель и знаменатель первой дроби по формулам квадрата суммы и квадрата разности:
$x^2+2x+1 = (x+1)^2$
$x^2-2x+1 = (x-1)^2$
Подставим в выражение:
$\frac{(x+1)^2}{(x-1)^2} \cdot \frac{x-1}{x+1}$
Сокращаем общие множители $(x+1)$ и $(x-1)$:
$\frac{x+1}{x-1}$
Ответ: $\frac{x+1}{x-1}$

з) $\frac{x+6}{x+1} \cdot \frac{5x+5}{x^2+12x+36}$
Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби:
$5x+5 = 5(x+1)$
$x^2+12x+36 = (x+6)^2$ (по формуле квадрата суммы)
Подставим в выражение:
$\frac{x+6}{x+1} \cdot \frac{5(x+1)}{(x+6)^2}$
Сокращаем общие множители $(x+1)$ и $(x+6)$:
$\frac{5}{x+6}$
Ответ: $\frac{5}{x+6}$

237. Выполните деление алгебраических дробей:

a) $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \text{.........};$

б) $\frac{3}{x} : \frac{4}{y} = \text{.........};$

В) $\frac{3}{4x} : \frac{x - 1}{2x} = \text{.........}$

Г) $\frac{6}{x + 1} : \frac{9x}{2(x + 1)} = \text{.........}$

Д) $\frac{14}{3x - 3} : \frac{7x}{4x - 4} = \text{.........}$

е) $\frac{3x + 2}{x - 2} : \frac{6x + 4}{5x - 10} = \text{.........}$

ж) $\frac{7x - 7}{2x - 3} : \frac{1 - x}{3 - 2x} = \text{.........}$

з) $\frac{x + 8}{4x - 4} : \frac{16 + 2x}{3 - 3x} = \text{.........}$

а) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную (перевернутую) второй. Это общее правило деления дробей.
$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$.
Ответ: $\frac{ad}{bc}$.

б) Применяем правило деления дробей: умножаем первую дробь на перевернутую вторую.
$\frac{3}{x} : \frac{4}{y} = \frac{3}{x} \cdot \frac{y}{4} = \frac{3y}{4x}$.
Ответ: $\frac{3y}{4x}$.

в) Для деления дробей умножаем первую дробь на дробь, обратную второй.
$\frac{3}{4x} : \frac{x-1}{2x} = \frac{3}{4x} \cdot \frac{2x}{x-1}$.
Запишем произведение под общую черту и сократим на общий множитель $2x$:
$\frac{3 \cdot 2x}{4x \cdot (x-1)} = \frac{3 \cdot \cancel{2x}}{2 \cdot \cancel{2x} \cdot (x-1)} = \frac{3}{2(x-1)}$.
Ответ: $\frac{3}{2(x-1)}$.

г) Умножаем первую дробь на перевернутую вторую.
$\frac{6}{x+1} : \frac{9x}{2(x+1)} = \frac{6}{x+1} \cdot \frac{2(x+1)}{9x}$.
Сокращаем на общий множитель $(x+1)$:
$\frac{6 \cdot 2(x+1)}{(x+1) \cdot 9x} = \frac{12}{9x}$.
Затем сокращаем числовые коэффициенты на 3:
$\frac{12}{9x} = \frac{4}{3x}$.
Ответ: $\frac{4}{3x}$.

д) Сначала разложим знаменатели на множители для удобства сокращения.
$3x-3 = 3(x-1)$
$4x-4 = 4(x-1)$
Теперь выполним деление:
$\frac{14}{3(x-1)} : \frac{7x}{4(x-1)} = \frac{14}{3(x-1)} \cdot \frac{4(x-1)}{7x}$.
Сократим дробь на общие множители $7$ и $(x-1)$:
$\frac{14 \cdot 4(x-1)}{3(x-1) \cdot 7x} = \frac{\cancel{14}^2 \cdot 4 \cdot \cancel{(x-1)}}{3 \cdot \cancel{(x-1)} \cdot \cancel{7}_1 x} = \frac{2 \cdot 4}{3x} = \frac{8}{3x}$.
Ответ: $\frac{8}{3x}$.

е) Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби.
$6x+4 = 2(3x+2)$
$5x-10 = 5(x-2)$
Выполним деление, подставив разложенные выражения:
$\frac{3x+2}{x-2} : \frac{2(3x+2)}{5(x-2)} = \frac{3x+2}{x-2} \cdot \frac{5(x-2)}{2(3x+2)}$.
Сокращаем на общие множители $(3x+2)$ и $(x-2)$:
$\frac{\cancel{(3x+2)} \cdot 5 \cdot \cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)} \cdot 2 \cdot \cancel{(3x+2)}} = \frac{5}{2}$.
Ответ: $\frac{5}{2}$.

ж) Разложим выражения на множители. Обратим внимание на знаки.
$7x-7 = 7(x-1)$
$1-x = -(x-1)$
$3-2x = -(2x-3)$
Подставим в исходное выражение и выполним деление:
$\frac{7(x-1)}{2x-3} : \frac{1-x}{3-2x} = \frac{7(x-1)}{2x-3} \cdot \frac{3-2x}{1-x} = \frac{7(x-1)}{2x-3} \cdot \frac{-(2x-3)}{-(x-1)}$.
Сокращаем на общие множители $(x-1)$ и $(2x-3)$, а также на $-1$ (минус на минус дает плюс):
$\frac{7 \cdot \cancel{(x-1)} \cdot \cancel{-(2x-3)}}{\cancel{(2x-3)} \cdot \cancel{-(x-1)}} = 7$.
Ответ: $7$.

з) Разложим на множители числители и знаменатели дробей.
$4x-4 = 4(x-1)$
$16+2x = 2(8+x)$
$3-3x = 3(1-x) = -3(x-1)$
Выполним деление, подставив разложенные выражения:
$\frac{x+8}{4(x-1)} : \frac{2(x+8)}{3-3x} = \frac{x+8}{4(x-1)} \cdot \frac{-3(x-1)}{2(x+8)}$.
Сокращаем на общие множители $(x+8)$ и $(x-1)$:
$\frac{\cancel{(x+8)} \cdot (-3) \cdot \cancel{(x-1)}}{4 \cdot \cancel{(x-1)} \cdot 2 \cdot \cancel{(x+8)}} = \frac{-3}{4 \cdot 2} = -\frac{3}{8}$.
Ответ: $-\frac{3}{8}$.