Страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

27. Учитель проверил $ \frac{5}{7} $ числа всех тетрадей, ему осталось проверить 8 тетрадей. Сколько тетрадей ему надо было проверить?

1) $ 1-\frac{5}{7}=\frac{2}{7} $ (часть) — всех тетрадей приходится на 8 тетрадей;

2) ............... (тетр.) — надо было проверить учителю.

Ответ. ............... тетрадей.

1) Для начала определим, какая часть тетрадей осталась непроверенной. Если все тетради, которые нужно проверить, составляют единицу (целое), а учитель уже проверил $\frac{5}{7}$ часть, то оставшаяся часть вычисляется вычитанием:

$1 - \frac{5}{7} = \frac{7}{7} - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$ (часть) — всех тетрадей осталось проверить.

Из условия задачи мы знаем, что эта часть, то есть $\frac{2}{7}$, составляет 8 тетрадей.

2) Теперь, зная, что $\frac{2}{7}$ от общего числа тетрадей равны 8, мы можем найти общее количество тетрадей. Чтобы найти целое по его части, нужно число (8), соответствующее этой части, разделить на саму часть ($\frac{2}{7}$):

$8 : \frac{2}{7} = 8 \cdot \frac{7}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$ (тетрадей).

Таким образом, всего учителю надо было проверить 28 тетрадей.

Ответ: 28 тетрадей.

28. Учитель проверил 16 тетрадей из 28. Какую часть тетрадей он проверил? Какую часть тетрадей ему осталось проверить?

1) $16/28$ (часть) — всех тетрадей проверил учитель;

2) $12/28$ (часть) — всех тетрадей осталось проверить учителю.

Ответ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1) Чтобы определить, какую часть тетрадей проверил учитель, необходимо разделить количество проверенных тетрадей на их общее число. Всего было 28 тетрадей, из них проверено 16.

Составим дробь, где в числителе — количество проверенных тетрадей, а в знаменателе — общее количество тетрадей:

$\frac{16}{28}$

Эту дробь можно и нужно сократить. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) для чисел 16 и 28. НОД(16, 28) = 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:

$\frac{16 \div 4}{28 \div 4} = \frac{4}{7}$

Таким образом, учитель проверил $\frac{4}{7}$ всех тетрадей.

Ответ: $\frac{4}{7}$ (часть) — всех тетрадей проверил учитель;

2) Чтобы найти, какую часть тетрадей осталось проверить, сначала определим количество непроверенных тетрадей. Для этого из общего числа тетрадей вычтем число проверенных:

$28 - 16 = 12$ (тетрадей)

Теперь найдем, какую часть от общего количества составляют эти 12 тетрадей. Составим дробь:

$\frac{12}{28}$

Эту дробь также сократим, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$\frac{12 \div 4}{28 \div 4} = \frac{3}{7}$

Альтернативный способ — вычесть из единицы (которая представляет все тетради) часть уже проверенных тетрадей:

$1 - \frac{4}{7} = \frac{7}{7} - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$

Оба способа дают одинаковый результат: учителю осталось проверить $\frac{3}{7}$ всех тетрадей.

Ответ: $\frac{3}{7}$ (часть) — всех тетрадей осталось проверить учителю.

29. Турист прошёл $\frac{3}{7}$ длины намеченного маршрута. Сколько километров ему осталось пройти, если всего он наметил пройти 21 км?

1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ответ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1) Сначала найдём, какое расстояние в километрах турист уже прошёл. Согласно условию, он прошёл $\frac{3}{7}$ от всего маршрута, длина которого составляет 21 км. Чтобы найти эту величину, необходимо умножить общую длину маршрута на данную дробь:

$21 \cdot \frac{3}{7} = \frac{21 \cdot 3}{7} = \frac{63}{7} = 9$ (км).

Таким образом, турист прошёл 9 км.

2) Теперь, чтобы узнать, сколько километров ему осталось пройти, нужно вычесть из общей длины маршрута (21 км) то расстояние, которое он уже преодолел (9 км):

$21 - 9 = 12$ (км).

Ответ: 12 км.

30. Мальчик прочитал $\frac{3}{4}$ числа всех страниц книги, ему осталось прочитать 24 страницы. Сколько страниц в книге?

1) ........................

2) ........................

Ответ. ........................

1) Сначала найдем, какую часть книги мальчику осталось прочитать. Вся книга — это целое, то есть 1. Поскольку он прочитал $\frac{3}{4}$ книги, то оставшаяся непрочитанная часть составляет: $1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ часть книги.

2) Из условия мы знаем, что эта $\frac{1}{4}$ часть книги равна 24 страницам. Чтобы найти общее количество страниц в книге (то есть найти целое по его части), нужно количество страниц, соответствующее этой части, разделить на саму дробь: $24 \div \frac{1}{4} = 24 \times 4 = 96$ страниц.

Ответ. В книге 96 страниц.

240. Упростите выражение:

a) $\left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) \cdot \frac{x}{x^2 + y^2} = \left( \frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} \right) \cdot \frac{x}{x^2 + y^2} = \dots$

б) $\left( \frac{x}{y} - \frac{y}{x} \right) : \frac{x^2 - y^2}{2y} = \dots$

в) $\left( \frac{x}{y} + 1 \right) \cdot \left( \frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y} \right) = \dots$

г) $\left( \frac{x}{y} - 1 \right) : \left( 1 - \frac{y}{x} \right) = \dots$

а) $(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) \cdot \frac{x}{x^2 + y^2}$

Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $xy$:

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x \cdot x}{y \cdot x} + \frac{y \cdot y}{x \cdot y} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное и выполним умножение:

$(\frac{x^2 + y^2}{xy}) \cdot \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{(x^2 + y^2) \cdot x}{xy \cdot (x^2 + y^2)}$

Сократим общие множители $x$ и $(x^2 + y^2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{(x^2 + y^2)} \cdot \cancel{x}}{\cancel{x}y \cdot \cancel{(x^2 + y^2)}} = \frac{1}{y}$

Ответ: $\frac{1}{y}$

б) $(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) : \frac{x^2 - y^2}{2y}$

Выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $xy$:

$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2}{xy} - \frac{y^2}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{x^2 - y^2}{xy} : \frac{x^2 - y^2}{2y} = \frac{x^2 - y^2}{xy} \cdot \frac{2y}{x^2 - y^2}$

Сократим общие множители $y$ и $(x^2 - y^2)$:

$\frac{\cancel{(x^2 - y^2)} \cdot 2\cancel{y}}{x\cancel{y} \cdot \cancel{(x^2 - y^2)}} = \frac{2}{x}$

Ответ: $\frac{2}{x}$

в) $(\frac{x}{y} + 1) \cdot (\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y})$

Упростим выражение в каждой из скобок по отдельности. Упростим первую скобку:

$\frac{x}{y} + 1 = \frac{x}{y} + \frac{y}{y} = \frac{x + y}{y}$

Теперь упростим вторую скобку, приведя дроби к общему знаменателю $(x+y)(x-y)$:

$\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y} = \frac{1 \cdot (x - y)}{(x + y)(x - y)} + \frac{1 \cdot (x + y)}{(x + y)(x - y)} = \frac{x - y + x + y}{(x + y)(x - y)} = \frac{2x}{x^2 - y^2}$

Перемножим полученные выражения:

$\frac{x + y}{y} \cdot \frac{2x}{(x + y)(x - y)} = \frac{(x + y) \cdot 2x}{y \cdot (x + y)(x - y)}$

Сократим общий множитель $(x+y)$:

$\frac{\cancel{(x + y)} \cdot 2x}{y \cdot \cancel{(x + y)}(x - y)} = \frac{2x}{y(x - y)}$

Ответ: $\frac{2x}{y(x - y)}$

г) $(\frac{x}{y} - 1) : (1 - \frac{y}{x})$

Упростим выражение в каждой из скобок. Первая скобка:

$\frac{x}{y} - 1 = \frac{x}{y} - \frac{y}{y} = \frac{x - y}{y}$

Вторая скобка:

$1 - \frac{y}{x} = \frac{x}{x} - \frac{y}{x} = \frac{x - y}{x}$

Теперь выполним деление полученных дробей, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{x - y}{y} : \frac{x - y}{x} = \frac{x - y}{y} \cdot \frac{x}{x - y}$

Сократим общий множитель $(x-y)$:

$\frac{\cancel{(x - y)} \cdot x}{y \cdot \cancel{(x - y)}} = \frac{x}{y}$

Ответ: $\frac{x}{y}$