Страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

10. Поставьте один из знаков >, < или =, чтобы получилось верное неравенство или равенство:

а) $7^3$ $(-7)^3$;

б) $7^4$ $(-7)^4$;

в) $(-5)^2$ $5^2$;

г) $7^2$ $7^3$;

д) $3^2$ $2^3$;

е) $4^2$ $2^4$;

ж) $5^2$ $2^5$;

з) $3^4 \cdot 3^2$ $3^{4+2}$;

и) $(2 \cdot 3)^4$ $2^4 \cdot 3^4$.

а) Чтобы сравнить $7^3$ и $(-7)^3$, вычислим значения этих выражений. Выражение $7^3$ представляет собой произведение трех семерок: $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.
При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае 3) результат будет отрицательным. Степень относится ко всему выражению в скобках, включая знак минус: $(-7)^3 = (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) = 49 \cdot (-7) = -343$.
Любое положительное число больше любого отрицательного, следовательно, $343 > -343$.
Ответ: $7^3 > (-7)^3$.

б) Сравним $7^4$ и $(-7)^4$. При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае 4) результат будет положительным, так как знаки "минус" попарно дадут "плюс": $(-7)^4 = (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) = 49 \cdot 49 = 2401$.
Вычислим значение выражения $7^4$: $7^4 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 49 = 2401$.
Таким образом, значения выражений равны.
Ответ: $7^4 = (-7)^4$.

в) Сравним $(-5)^2$ и $5^2$. Это частный случай предыдущего пункта. Возведение в квадрат (четная степень 2) отрицательного числа дает положительный результат: $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$.
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Значения выражений равны.
Ответ: $(-5)^2 = 5^2$.

г) Сравним $7^2$ и $7^3$. Вычислим значения: $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.
$7^3 = 7^2 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.
Поскольку $49 < 343$, то $7^2 < 7^3$.
Можно также рассуждать, что для основания, большего единицы (здесь 7), значение степени увеличивается с увеличением показателя степени.
Ответ: $7^2 < 7^3$.

д) Сравним $3^2$ и $2^3$. Вычислим значения выражений: $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
Поскольку $9 > 8$, то $3^2 > 2^3$.
Ответ: $3^2 > 2^3$.

е) Сравним $4^2$ и $2^4$. Вычислим значения: $4^2 = 4 \cdot 4 = 16$.
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Значения выражений равны. Другой способ решения — привести степени к одному основанию. Так как $4 = 2^2$, то: $4^2 = (2^2)^2$. По свойству возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), получаем $2^{2 \cdot 2} = 2^4$.
Ответ: $4^2 = 2^4$.

ж) Сравним $5^2$ и $2^5$. Вычислим значения: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Поскольку $25 < 32$, то $5^2 < 2^5$.
Ответ: $5^2 < 2^5$.

з) Сравним $3^4 \cdot 3^2$ и $3^{4+2}$. Это задание на знание свойства умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Левая часть $3^4 \cdot 3^2$ по этому свойству равна $3^{4+2}$.
Правая часть уже записана как $3^{4+2}$.
Следовательно, выражения тождественно равны.
Ответ: $3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2}$.

и) Сравним $(2 \cdot 3)^4$ и $2^4 \cdot 3^4$. Это задание на знание свойства возведения произведения в степень: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
Левая часть $(2 \cdot 3)^4$ по этому свойству равна $2^4 \cdot 3^4$.
Правая часть уже записана как $2^4 \cdot 3^4$.
Следовательно, выражения тождественно равны.
Ответ: $(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4$.

11. Используя свойства степеней, запишите в виде степени:

$2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 = 10^3; 9^3 \cdot 9^2 = 9^{3 + 2} = 9^5; (5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6.$

а) $8^5 \cdot 8^3 = \ldots$

б) $2^{11} \cdot 2^{12} = \ldots$

в) $(2^3)^4 = \ldots$

г) $(2^4)^3 = \ldots$

д) $4^7 \cdot 25^7 = \ldots$

е) $8^6 \cdot 125^6 = \ldots$

а) Для того чтобы записать выражение $8^5 \cdot 8^3$ в виде степени, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание $a=8$, а показатели степеней $m=5$ и $n=3$.

Складываем показатели степеней: $5 + 3 = 8$.

Таким образом, $8^5 \cdot 8^3 = 8^{5+3} = 8^8$.

Ответ: $8^8$

б) Для выражения $2^{11} \cdot 2^{12}$ применяется то же свойство, что и в пункте а): $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Здесь основание $a=2$, а показатели $m=11$ и $n=12$.

Сложим показатели: $11 + 12 = 23$.

Следовательно, $2^{11} \cdot 2^{12} = 2^{11+12} = 2^{23}$.

Ответ: $2^{23}$

в) Выражение $(2^3)^4$ упрощается с помощью свойства возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В этом примере основание $a=2$, а показатели $m=3$ и $n=4$.

Перемножаем показатели степеней: $3 \cdot 4 = 12$.

В результате получаем: $(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$.

Ответ: $2^{12}$

г) Для выражения $(2^4)^3$ применяется то же свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Здесь основание $a=2$, показатели $m=4$ и $n=3$.

Перемножаем показатели: $4 \cdot 3 = 12$.

Следовательно, $(2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12}$.

Ответ: $2^{12}$

д) Для выражения $4^7 \cdot 25^7$ используется свойство умножения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. В данном случае показатель $n=7$, а основания $a=4$ и $b=25$.

Перемножаем основания и возводим результат в общую степень: $(4 \cdot 25)^7 = 100^7$.

Чтобы упростить, представим основание 100 в виде степени: $100 = 10^2$.

Теперь выражение выглядит так: $(10^2)^7$. Применяя свойство возведения степени в степень, получаем: $(10^2)^7 = 10^{2 \cdot 7} = 10^{14}$.

Ответ: $10^{14}$

е) Для выражения $8^6 \cdot 125^6$ так же, как и в пункте д), применяется свойство умножения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Здесь показатель $n=6$, а основания $a=8$ и $b=125$.

Перемножаем основания: $8 \cdot 125 = 1000$.

Выражение принимает вид: $(8 \cdot 125)^6 = 1000^6$.

Представим основание 1000 как степень числа 10: $1000 = 10^3$.

Подставив, получаем $(10^3)^6$. Теперь, используя свойство возведения степени в степень, находим конечный результат: $(10^3)^6 = 10^{3 \cdot 6} = 10^{18}$.

Ответ: $10^{18}$

12. Запишите:

а) натуральное число, которое не является ни простым, ни составным:

б) пять первых простых чисел:

в) пять первых составных чисел:

а) натуральное число, которое не является ни простым, ни составным:

По определению, все натуральные числа ($N = \{1, 2, 3, ...\}$) делятся на три категории.
Простые числа — это натуральные числа больше $1$, которые имеют ровно два различных делителя: единицу и само себя (например, 2, 3, 5, 7).
Составные числа — это натуральные числа больше $1$, которые не являются простыми, то есть имеют более двух делителей (например, 4, 6, 8, 9).
Число 1 является особым случаем. Оно имеет только один делитель — само себя. Поскольку определения простых и составных чисел применяются только к числам, которые строго больше $1$, единица не попадает ни в одну из этих категорий.
Следовательно, единственное натуральное число, которое не является ни простым, ни составным, — это $1$.
Ответ: 1

б) пять первых простых чисел:

Простое число — это натуральное число, которое больше $1$ и имеет только два делителя: $1$ и само себя. Для нахождения первых пяти простых чисел будем последовательно проверять натуральные числа, начиная с $2$:
$2$ — первое простое число (делители $1, 2$).
$3$ — второе простое число (делители $1, 3$).
$4$ — составное, так как $4 = 2 \cdot 2$.
$5$ — третье простое число (делители $1, 5$).
$6$ — составное, так как $6 = 2 \cdot 3$.
$7$ — четвертое простое число (делители $1, 7$).
$8, 9, 10$ — составные числа.
$11$ — пятое простое число (делители $1, 11$).
Таким образом, первые пять простых чисел: $2, 3, 5, 7, 11$.
Ответ: 2, 3, 5, 7, 11

в) пять первых составных чисел:

Составное число — это натуральное число больше $1$, которое не является простым, то есть имеет делители, отличные от $1$ и самого себя. Для нахождения первых пяти составных чисел будем последовательно проверять натуральные числа:
$1$ — не является ни простым, ни составным.
$2, 3$ — простые.
$4$ — первое составное число, так как делится на $2$ ($4 = 2 \cdot 2$).
$5$ — простое.
$6$ — второе составное число, так как делится на $2$ и $3$ ($6 = 2 \cdot 3$).
$7$ — простое.
$8$ — третье составное число, так как делится на $2$ и $4$ ($8 = 2 \cdot 4$).
$9$ — четвертое составное число, так как делится на $3$ ($9 = 3 \cdot 3$).
$10$ — пятое составное число, так как делится на $2$ и $5$ ($10 = 2 \cdot 5$).
Таким образом, первые пять составных чисел: $4, 6, 8, 9, 10$.
Ответ: 4, 6, 8, 9, 10

228. Найдите общий знаменатель двух дробей:

a) $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{2}{3} $ — ....................

б) $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{5}{x} $ — ....................

в) $ \frac{x}{x+1} $ и $ \frac{x-1}{x} $ — ....................

г) $ \frac{x}{x+1} $ и $ \frac{2}{x-1} $ — ....................

а) Чтобы найти общий знаменатель для дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей, то есть чисел 2 и 3. Поскольку 2 и 3 — это простые числа, их НОК равно их произведению.
$НОК(2, 3) = 2 \times 3 = 6$.
Ответ: 6

б) Знаменателями дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{5}{x}$ являются 2 и $x$. Общим знаменателем будет наименьшее общее кратное этих выражений. Так как у константы 2 и переменной $x$ нет общих множителей (если не оговорено иное), их НОК является их произведением.
Общий знаменатель = $2 \times x = 2x$.
Ответ: $2x$

в) Знаменателями дробей $\frac{x}{x+1}$ и $\frac{x-1}{x}$ являются выражения $x+1$ и $x$. Эти выражения не имеют общих множителей (являются взаимно простыми), поэтому их общий знаменатель находится путем их перемножения.
Общий знаменатель = $x \times (x+1) = x(x+1)$.
Ответ: $x(x+1)$

г) Знаменателями дробей $\frac{x}{x+1}$ и $\frac{2}{x-1}$ являются выражения $x+1$ и $x-1$. Так как эти выражения не имеют общих множителей, для нахождения общего знаменателя их следует перемножить.
Общий знаменатель = $(x+1)(x-1)$.
Это выражение также можно представить в виде разности квадратов: $(x+1)(x-1) = x^2 - 1$.
Ответ: $(x+1)(x-1)$ или $x^2 - 1$

229. Разложите знаменатели на множители и найдите общий знаменатель двух дробей:

а) $ \frac{2x + 1}{x^2 - 1} $ и $ \frac{x + 3}{x - 1} $

б) $ \frac{3x + 5}{x^2 - 1} $ и $ \frac{x - 4}{x + 1} $

в) $ \frac{x - 1}{x^2 + 2x + 1} $ и $ \frac{x^2 + 2}{x^2 - 1} $

г) $ \frac{x + 1}{x^2 - 2x + 1} $ и $ \frac{x^2 - 2}{x^2 - 1} $

а) Даны дроби $\frac{2x + 1}{x^2 - 1}$ и $\frac{x + 3}{x - 1}$.

Сначала разложим на множители знаменатели каждой дроби.

Знаменатель первой дроби $x^2 - 1$ является разностью квадратов. Используя формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, получаем:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Знаменатель второй дроби $x - 1$ уже является простым множителем и не раскладывается.

Теперь найдем общий знаменатель. Он должен содержать все множители из обоих знаменателей. Знаменатели в разложенном виде: $(x - 1)(x + 1)$ и $(x - 1)$.

Общий знаменатель будет произведением всех уникальных множителей в их наивысшей степени. В данном случае это $(x - 1)$ и $(x + 1)$.

Таким образом, общий знаменатель равен $(x - 1)(x + 1)$, что можно также записать как $x^2 - 1$.

Ответ: Общий знаменатель: $(x - 1)(x + 1)$.

б) Даны дроби $\frac{3x + 5}{x^2 - 1}$ и $\frac{x - 4}{x + 1}$.

Разложим на множители знаменатели.

Знаменатель первой дроби $x^2 - 1$ — это разность квадратов:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Знаменатель второй дроби $x + 1$ уже разложен.

Знаменатели в разложенном виде: $(x - 1)(x + 1)$ и $(x + 1)$.

Общий знаменатель должен включать все множители: $(x - 1)$ и $(x + 1)$.

Следовательно, общий знаменатель равен $(x - 1)(x + 1)$ или $x^2 - 1$.

Ответ: Общий знаменатель: $(x - 1)(x + 1)$.

в) Даны дроби $\frac{x - 1}{x^2 + 2x + 1}$ и $\frac{x^2 + 2}{x^2 - 1}$.

Разложим на множители знаменатели.

Знаменатель первой дроби $x^2 + 2x + 1$ является полным квадратом суммы. Используя формулу $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$, получаем:
$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$.

Знаменатель второй дроби $x^2 - 1$ — это разность квадратов:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Знаменатели в разложенном виде: $(x + 1)^2$ и $(x - 1)(x + 1)$.

Чтобы найти общий знаменатель, берем каждый множитель в наивысшей степени, в которой он встречается. Множитель $(x + 1)$ встречается в степени 2, а множитель $(x - 1)$ — в степени 1.

Таким образом, общий знаменатель равен $(x - 1)(x + 1)^2$.

Ответ: Общий знаменатель: $(x - 1)(x + 1)^2$.

г) Даны дроби $\frac{x + 1}{x^2 - 2x + 1}$ и $\frac{x^2 - 2}{x^2 - 1}$.

Разложим на множители знаменатели.

Знаменатель первой дроби $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом разности. Используя формулу $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$, получаем:
$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.

Знаменатель второй дроби $x^2 - 1$ — это разность квадратов:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Знаменатели в разложенном виде: $(x - 1)^2$ и $(x - 1)(x + 1)$.

Чтобы найти общий знаменатель, берем каждый множитель в наивысшей степени. Множитель $(x - 1)$ встречается в степени 2, а множитель $(x + 1)$ — в степени 1.

Таким образом, общий знаменатель равен $(x - 1)^2(x + 1)$.

Ответ: Общий знаменатель: $(x - 1)^2(x + 1)$.

230. Приведите дроби к общему знаменателю:

a) $\frac{x}{x^2 - 1}$ и $\frac{x + 1}{2x - 2}$;

.........................

.........................

б) $\frac{4}{x^2 - 1}$ и $\frac{x - 4}{3x + 3}$;

в) $\frac{x}{x^2 + 2x + 1}$ и $\frac{6}{x^2 - 1}$;

.........................

.........................

г) $\frac{1}{x^2 - 2x + 1}$ и $\frac{-5}{x^2 - 1}$.

а) Даны дроби $\frac{x}{x^2 - 1}$ и $\frac{x + 1}{2x - 2}$.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ (формула разности квадратов).
Знаменатель второй дроби: $2x - 2 = 2(x - 1)$ (вынесение общего множителя за скобки).

2. Найдём наименьший общий знаменатель (НОЗ). НОЗ должен содержать все множители из обоих знаменателей в наибольшей степени.
Множители: $2$, $(x - 1)$, $(x + 1)$.
НОЗ = $2(x - 1)(x + 1) = 2(x^2 - 1)$.

3. Найдём дополнительные множители для каждой дроби.
Для первой дроби $\frac{x}{(x - 1)(x + 1)}$ дополнительный множитель: $\frac{2(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = 2$.
Для второй дроби $\frac{x + 1}{2(x - 1)}$ дополнительный множитель: $\frac{2(x - 1)(x + 1)}{2(x - 1)} = x + 1$.

4. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
Первая дробь: $\frac{x \cdot 2}{(x - 1)(x + 1) \cdot 2} = \frac{2x}{2(x^2 - 1)}$.
Вторая дробь: $\frac{(x + 1) \cdot (x + 1)}{2(x - 1) \cdot (x + 1)} = \frac{(x + 1)^2}{2(x^2 - 1)} = \frac{x^2 + 2x + 1}{2(x^2 - 1)}$.

Ответ: $\frac{2x}{2(x^2 - 1)}$ и $\frac{x^2 + 2x + 1}{2(x^2 - 1)}$.

б) Даны дроби $\frac{4}{x^2 - 1}$ и $\frac{x - 4}{3x + 3}$.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Знаменатель второй дроби: $3x + 3 = 3(x + 1)$.

2. Найдём НОЗ.
Множители: $3$, $(x - 1)$, $(x + 1)$.
НОЗ = $3(x - 1)(x + 1) = 3(x^2 - 1)$.

3. Найдём дополнительные множители.
Для первой дроби $\frac{4}{(x - 1)(x + 1)}$ дополнительный множитель: $3$.
Для второй дроби $\frac{x - 4}{3(x + 1)}$ дополнительный множитель: $x - 1$.

4. Приведём дроби к общему знаменателю.
Первая дробь: $\frac{4 \cdot 3}{(x - 1)(x + 1) \cdot 3} = \frac{12}{3(x^2 - 1)}$.
Вторая дробь: $\frac{(x - 4)(x - 1)}{3(x + 1)(x - 1)} = \frac{x^2 - x - 4x + 4}{3(x^2 - 1)} = \frac{x^2 - 5x + 4}{3(x^2 - 1)}$.

Ответ: $\frac{12}{3(x^2 - 1)}$ и $\frac{x^2 - 5x + 4}{3(x^2 - 1)}$.

в) Даны дроби $\frac{x}{x^2 + 2x + 1}$ и $\frac{6}{x^2 - 1}$.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$ (формула квадрата суммы).
Знаменатель второй дроби: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

2. Найдём НОЗ.
Множители: $(x + 1)$ в степени 2 и $(x - 1)$ в степени 1.
НОЗ = $(x - 1)(x + 1)^2$.

3. Найдём дополнительные множители.
Для первой дроби $\frac{x}{(x + 1)^2}$ дополнительный множитель: $x - 1$.
Для второй дроби $\frac{6}{(x - 1)(x + 1)}$ дополнительный множитель: $x + 1$.

4. Приведём дроби к общему знаменателю.
Первая дробь: $\frac{x(x - 1)}{(x + 1)^2(x - 1)} = \frac{x^2 - x}{(x - 1)(x + 1)^2}$.
Вторая дробь: $\frac{6(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)(x + 1)} = \frac{6x + 6}{(x - 1)(x + 1)^2}$.

Ответ: $\frac{x^2 - x}{(x - 1)(x + 1)^2}$ и $\frac{6x + 6}{(x - 1)(x + 1)^2}$.

г) Даны дроби $\frac{1}{x^2 - 2x + 1}$ и $\frac{-5}{x^2 - 1}$.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ (формула квадрата разности).
Знаменатель второй дроби: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

2. Найдём НОЗ.
Множители: $(x - 1)$ в степени 2 и $(x + 1)$ в степени 1.
НОЗ = $(x - 1)^2(x + 1)$.

3. Найдём дополнительные множители.
Для первой дроби $\frac{1}{(x - 1)^2}$ дополнительный множитель: $x + 1$.
Для второй дроби $\frac{-5}{(x - 1)(x + 1)}$ дополнительный множитель: $x - 1$.

4. Приведём дроби к общему знаменателю.
Первая дробь: $\frac{1(x + 1)}{(x - 1)^2(x + 1)} = \frac{x + 1}{(x - 1)^2(x + 1)}$.
Вторая дробь: $\frac{-5(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)(x - 1)} = \frac{-5x + 5}{(x - 1)^2(x + 1)}$.

Ответ: $\frac{x + 1}{(x - 1)^2(x + 1)}$ и $\frac{-5x + 5}{(x - 1)^2(x + 1)}$.