Номер 229, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.2. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 229, страница 7.

Условие.

229. Разложите знаменатели на множители и найдите общий знаменатель двух дробей:

а) $ \frac{2x + 1}{x^2 - 1} $ и $ \frac{x + 3}{x - 1} $

б) $ \frac{3x + 5}{x^2 - 1} $ и $ \frac{x - 4}{x + 1} $

в) $ \frac{x - 1}{x^2 + 2x + 1} $ и $ \frac{x^2 + 2}{x^2 - 1} $

г) $ \frac{x + 1}{x^2 - 2x + 1} $ и $ \frac{x^2 - 2}{x^2 - 1} $

Решение.

Решение 2.

а) Даны дроби $\frac{2x + 1}{x^2 - 1}$ и $\frac{x + 3}{x - 1}$.

Сначала разложим на множители знаменатели каждой дроби.

Знаменатель первой дроби $x^2 - 1$ является разностью квадратов. Используя формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, получаем:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Знаменатель второй дроби $x - 1$ уже является простым множителем и не раскладывается.

Теперь найдем общий знаменатель. Он должен содержать все множители из обоих знаменателей. Знаменатели в разложенном виде: $(x - 1)(x + 1)$ и $(x - 1)$.

Общий знаменатель будет произведением всех уникальных множителей в их наивысшей степени. В данном случае это $(x - 1)$ и $(x + 1)$.

Таким образом, общий знаменатель равен $(x - 1)(x + 1)$, что можно также записать как $x^2 - 1$.

Ответ: Общий знаменатель: $(x - 1)(x + 1)$.

б) Даны дроби $\frac{3x + 5}{x^2 - 1}$ и $\frac{x - 4}{x + 1}$.

Разложим на множители знаменатели.

Знаменатель первой дроби $x^2 - 1$ — это разность квадратов:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Знаменатель второй дроби $x + 1$ уже разложен.

Знаменатели в разложенном виде: $(x - 1)(x + 1)$ и $(x + 1)$.

Общий знаменатель должен включать все множители: $(x - 1)$ и $(x + 1)$.

Следовательно, общий знаменатель равен $(x - 1)(x + 1)$ или $x^2 - 1$.

Ответ: Общий знаменатель: $(x - 1)(x + 1)$.

в) Даны дроби $\frac{x - 1}{x^2 + 2x + 1}$ и $\frac{x^2 + 2}{x^2 - 1}$.

Разложим на множители знаменатели.

Знаменатель первой дроби $x^2 + 2x + 1$ является полным квадратом суммы. Используя формулу $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$, получаем:
$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$.

Знаменатель второй дроби $x^2 - 1$ — это разность квадратов:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Знаменатели в разложенном виде: $(x + 1)^2$ и $(x - 1)(x + 1)$.

Чтобы найти общий знаменатель, берем каждый множитель в наивысшей степени, в которой он встречается. Множитель $(x + 1)$ встречается в степени 2, а множитель $(x - 1)$ — в степени 1.

Таким образом, общий знаменатель равен $(x - 1)(x + 1)^2$.

Ответ: Общий знаменатель: $(x - 1)(x + 1)^2$.

г) Даны дроби $\frac{x + 1}{x^2 - 2x + 1}$ и $\frac{x^2 - 2}{x^2 - 1}$.

Разложим на множители знаменатели.

Знаменатель первой дроби $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом разности. Используя формулу $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$, получаем:
$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.

Знаменатель второй дроби $x^2 - 1$ — это разность квадратов:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Знаменатели в разложенном виде: $(x - 1)^2$ и $(x - 1)(x + 1)$.

Чтобы найти общий знаменатель, берем каждый множитель в наивысшей степени. Множитель $(x - 1)$ встречается в степени 2, а множитель $(x + 1)$ — в степени 1.

Таким образом, общий знаменатель равен $(x - 1)^2(x + 1)$.

Ответ: Общий знаменатель: $(x - 1)^2(x + 1)$.