Номер 233, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 233, страница 10.

Условие.

233. Выполните действия:

а) $ \frac{1^{\setminus x+1}}{x} + \frac{2^{\setminus x}}{x+1} = \frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{2x}{x(x+1)} = \dots $

б) $ \frac{1^{\setminus x-1}}{x} - \frac{5^{\setminus x}}{x-1} = \frac{\dots}{x(x-1)} - \frac{\dots}{x(x-1)} = \dots $

в) $ \frac{3^{\setminus \dots}}{x-1} + \frac{2^{\setminus \dots}}{x+1} = \frac{\dots}{(\dots)(\dots)} + \frac{\dots}{(\dots)(\dots)} = \dots $

г) $ \frac{5^{\setminus \dots}}{x-2} - \frac{7^{\setminus \dots}}{x+2} = \frac{\dots}{(\dots)(\dots)} + \frac{\dots}{(\dots)(\dots)} = \dots $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы сложить дроби $ \frac{1}{x} $ и $ \frac{2}{x+1} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем является произведение их знаменателей: $ x(x+1) $.

Дополнительный множитель для первой дроби — $ (x+1) $, для второй — $ x $. Умножим числители на эти множители, а затем сложим полученные дроби:

$ \frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = \frac{1 \cdot (x+1)}{x(x+1)} + \frac{2 \cdot x}{x(x+1)} = \frac{x+1+2x}{x(x+1)} = \frac{3x+1}{x(x+1)} $

Ответ: $ \frac{3x+1}{x(x+1)} $.

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{1}{x} - \frac{5}{x-1} $, найдем общий знаменатель. Он равен произведению знаменателей: $ x(x-1) $.

Дополнительный множитель для первой дроби — $ (x-1) $, для второй — $ x $. Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$ \frac{1}{x} - \frac{5}{x-1} = \frac{1 \cdot (x-1)}{x(x-1)} - \frac{5 \cdot x}{x(x-1)} = \frac{(x-1)-5x}{x(x-1)} = \frac{x-1-5x}{x(x-1)} = \frac{-4x-1}{x(x-1)} $

Ответ: $ \frac{-4x-1}{x(x-1)} $.

в) Чтобы сложить дроби $ \frac{3}{x-1} $ и $ \frac{2}{x+1} $, приведем их к общему знаменателю $ (x-1)(x+1) $, который по формуле разности квадратов равен $ x^2-1 $.

Дополнительный множитель для первой дроби — $ (x+1) $, для второй — $ (x-1) $. Выполним сложение, предварительно раскрыв скобки в числителе:

$ \frac{3}{x-1} + \frac{2}{x+1} = \frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3(x+1)+2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x+3+2x-2}{x^2-1} = \frac{5x+1}{x^2-1} $

Ответ: $ \frac{5x+1}{x^2-1} $.

г) Чтобы вычесть дробь $ \frac{7}{x+2} $ из $ \frac{5}{x-2} $, найдем общий знаменатель, который равен $ (x-2)(x+2) $ или $ x^2-4 $.

Дополнительный множитель для первой дроби — $ (x+2) $, для второй — $ (x-2) $. Выполним вычитание, внимательно раскрыв скобки в числителе:

$ \frac{5}{x-2} - \frac{7}{x+2} = \frac{5(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{7(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{5(x+2)-7(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{5x+10-(7x-14)}{x^2-4} = \frac{5x+10-7x+14}{x^2-4} = \frac{-2x+24}{x^2-4} $

Ответ: $ \frac{-2x+24}{x^2-4} $.