Номер 231, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 231, страница 9.

Условие.

231. Выполните действия:

а) $ \frac{a}{b} + \frac{1}{b} = \dots $

б) $ \frac{3}{c} - \frac{1}{c} = \dots $

в) $ \frac{2}{x - 1} + \frac{x + 3}{x - 1} = \dots $

г) $ \frac{3}{x + 1} - \frac{x - 3}{x + 1} = \dots $

д) $ \frac{5}{x - 1} + \frac{6}{1 - x} = \frac{5}{x - 1} - \frac{6}{x - 1} = \dots $

е) $ \frac{2x + 1}{x - 2} - \frac{5}{2 - x} = \frac{\dots}{x - 2} + \frac{\dots}{x - 2} = \dots $

ж) $ \frac{x - 5}{2x - 3} + \frac{1}{3 - 2x} = \frac{\dots}{2x - 3} - \frac{\dots}{2x - 3} = \dots $

з) $ \frac{x + 5}{x - 7} - \frac{1}{7 - x} = \frac{\dots}{x - 7} + \frac{\dots}{x - 7} = \dots $

Решение.

Решение 2.

а) $ \frac{a}{b} + \frac{1}{b} $

Данные дроби имеют одинаковый знаменатель $b$. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

$ \frac{a}{b} + \frac{1}{b} = \frac{a + 1}{b} $

Ответ: $ \frac{a+1}{b} $

б) $ \frac{3}{c} - \frac{1}{c} $

Данные дроби имеют одинаковый знаменатель $c$. Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.

$ \frac{3}{c} - \frac{1}{c} = \frac{3 - 1}{c} = \frac{2}{c} $

Ответ: $ \frac{2}{c} $

в) $ \frac{2}{x - 1} + \frac{x + 3}{x - 1} $

Знаменатели дробей одинаковы ($x - 1$), поэтому складываем их числители.

$ \frac{2}{x - 1} + \frac{x + 3}{x - 1} = \frac{2 + (x + 3)}{x - 1} = \frac{2 + x + 3}{x - 1} = \frac{x + 5}{x - 1} $

Ответ: $ \frac{x+5}{x-1} $

г) $ \frac{3}{x + 1} - \frac{x - 3}{x + 1} $

Знаменатели дробей одинаковы ($x + 1$), поэтому вычитаем числители. Важно обратить внимание на знак минус перед второй дробью, который относится ко всему числителю $x - 3$.

$ \frac{3}{x + 1} - \frac{x - 3}{x + 1} = \frac{3 - (x - 3)}{x + 1} = \frac{3 - x + 3}{x + 1} = \frac{6 - x}{x + 1} $

Ответ: $ \frac{6-x}{x+1} $

д) $ \frac{5}{x - 1} + \frac{6}{1 - x} $

Знаменатели $x - 1$ и $1 - x$ являются противоположными выражениями, так как $1 - x = -(x - 1)$. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя.

$ \frac{5}{x - 1} + \frac{6}{1 - x} = \frac{5}{x - 1} + \frac{6}{-(x - 1)} = \frac{5}{x - 1} - \frac{6}{x - 1} $

Теперь, когда знаменатели одинаковы, вычитаем числители.

$ \frac{5 - 6}{x - 1} = \frac{-1}{x - 1} = -\frac{1}{x - 1} $

Ответ: $ -\frac{1}{x-1} $

е) $ \frac{2x + 1}{x - 2} - \frac{5}{2 - x} $

Знаменатели $x - 2$ и $2 - x$ являются противоположными выражениями ($2 - x = -(x - 2)$). Изменим знак перед второй дробью и в ее знаменателе, чтобы привести дроби к общему знаменателю $x - 2$.

$ \frac{2x + 1}{x - 2} - \frac{5}{2 - x} = \frac{2x + 1}{x - 2} - \frac{5}{-(x - 2)} = \frac{2x + 1}{x - 2} + \frac{5}{x - 2} $

Складываем числители.

$ \frac{(2x + 1) + 5}{x - 2} = \frac{2x + 6}{x - 2} $

Ответ: $ \frac{2x+6}{x-2} $

ж) $ \frac{x - 5}{2x - 3} + \frac{1}{3 - 2x} $

Знаменатели $2x - 3$ и $3 - 2x$ являются противоположными выражениями ($3 - 2x = -(2x - 3)$). Приведем вторую дробь к знаменателю $2x - 3$.

$ \frac{x - 5}{2x - 3} + \frac{1}{3 - 2x} = \frac{x - 5}{2x - 3} + \frac{1}{-(2x - 3)} = \frac{x - 5}{2x - 3} - \frac{1}{2x - 3} $

Вычитаем числители.

$ \frac{(x - 5) - 1}{2x - 3} = \frac{x - 6}{2x - 3} $

Ответ: $ \frac{x-6}{2x-3} $

з) $ \frac{x + 5}{x - 7} - \frac{1}{7 - x} $

Знаменатели $x - 7$ и $7 - x$ являются противоположными ($7 - x = -(x - 7)$). Изменим знак у второй дроби и ее знаменателя.

$ \frac{x + 5}{x - 7} - \frac{1}{7 - x} = \frac{x + 5}{x - 7} - \frac{1}{-(x - 7)} = \frac{x + 5}{x - 7} + \frac{1}{x - 7} $

Складываем числители.

$ \frac{(x + 5) + 1}{x - 7} = \frac{x + 6}{x - 7} $

Ответ: $ \frac{x+6}{x-7} $