Номер 232, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 232, страница 9.

Условие.

232. Преобразуйте в алгебраическую дробь:

a) $ \frac{x}{2x - 4} - \frac{1}{x - 2} = \frac{x}{2(x - 2)} - \frac{1^2}{x - 2} = \frac{x}{2(x - 2)} - \frac{2}{2(x - 2)} $

...

б) $ \frac{x}{2x - 4} + \frac{1}{3x - 6} = \frac{x^3}{2(x - 2)} + \frac{1^2}{3(x - 2)} = \frac{\dots}{6(x - 2)} + \frac{\dots}{6(x - 2)} $

...

В) $ \frac{x}{5x + 10} - \frac{1}{3x + 6} = \dots $

...

Г) $ \frac{x}{3x + 9} + \frac{x - 1}{2x + 6} = \dots $

...

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы преобразовать выражение $\frac{x}{2x - 4} - \frac{1}{x - 2}$ в алгебраическую дробь, сначала необходимо привести дроби к общему знаменателю.
1. Разложим знаменатели на множители:
Знаменатель первой дроби: $2x - 4 = 2(x - 2)$.
Знаменатель второй дроби $x - 2$ уже представлен в простейшем виде.
Выражение принимает вид: $\frac{x}{2(x - 2)} - \frac{1}{x - 2}$.
2. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей — $2(x - 2)$.
3. Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — 1, а для второй — 2.
$\frac{x}{2(x - 2)} - \frac{1 \cdot 2}{(x - 2) \cdot 2} = \frac{x}{2(x - 2)} - \frac{2}{2(x - 2)}$
4. Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{x - 2}{2(x - 2)}$
5. Сократим полученную дробь на общий множитель $(x - 2)$, при условии, что $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.
$\frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Чтобы преобразовать выражение $\frac{x}{2x - 4} + \frac{1}{3x - 6}$, выполним следующие шаги:
1. Разложим знаменатели на множители:
$2x - 4 = 2(x - 2)$
$3x - 6 = 3(x - 2)$
Выражение примет вид: $\frac{x}{2(x - 2)} + \frac{1}{3(x - 2)}$.
2. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен произведению уникальных множителей: $2 \cdot 3 \cdot (x - 2) = 6(x - 2)$.
3. Найдем дополнительные множители для каждой дроби: для первой дроби это 3, для второй — 2.
$\frac{x \cdot 3}{2(x - 2) \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3(x - 2) \cdot 2} = \frac{3x}{6(x - 2)} + \frac{2}{6(x - 2)}$
4. Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{3x + 2}{6(x - 2)}$
Эта дробь не подлежит дальнейшему сокращению.
Ответ: $\frac{3x + 2}{6(x - 2)}$

в) Преобразуем выражение $\frac{x}{5x + 10} - \frac{1}{3x + 6}$.
1. Разложим знаменатели на множители, вынося общий множитель за скобки:
$5x + 10 = 5(x + 2)$
$3x + 6 = 3(x + 2)$
Выражение примет вид: $\frac{x}{5(x + 2)} - \frac{1}{3(x + 2)}$.
2. Общий знаменатель: $5 \cdot 3 \cdot (x + 2) = 15(x + 2)$.
3. Дополнительный множитель для первой дроби — 3, для второй — 5. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{x \cdot 3}{5(x + 2) \cdot 3} - \frac{1 \cdot 5}{3(x + 2) \cdot 5} = \frac{3x}{15(x + 2)} - \frac{5}{15(x + 2)}$
4. Выполним вычитание:
$\frac{3x - 5}{15(x + 2)}$
Дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{3x - 5}{15(x + 2)}$

г) Преобразуем выражение $\frac{x}{3x + 9} + \frac{x - 1}{2x + 6}$.
1. Разложим знаменатели на множители:
$3x + 9 = 3(x + 3)$
$2x + 6 = 2(x + 3)$
Выражение примет вид: $\frac{x}{3(x + 3)} + \frac{x - 1}{2(x + 3)}$.
2. Наименьший общий знаменатель (НОЗ): $3 \cdot 2 \cdot (x + 3) = 6(x + 3)$.
3. Дополнительные множители: для первой дроби — 2, для второй — 3.
$\frac{x \cdot 2}{3(x + 3) \cdot 2} + \frac{(x - 1) \cdot 3}{2(x + 3) \cdot 3} = \frac{2x}{6(x + 3)} + \frac{3(x - 1)}{6(x + 3)}$
4. Сложим дроби, объединив их числители:
$\frac{2x + 3(x - 1)}{6(x + 3)}$
5. Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$2x + 3x - 3 = 5x - 3$
Итоговая алгебраическая дробь:
$\frac{5x - 3}{6(x + 3)}$
Дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{5x - 3}{6(x + 3)}$