Номер 239, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 239, страница 12.

Условие.

239. Преобразуйте в алгебраическую дробь:

a) $\frac{x^2 - 1}{2x + 6} \cdot (x + 3) = $

б) $\frac{x^2 + x}{x - 7} : (x + 1) = $

в) $\frac{x + 2}{x^2 - x} \cdot (2x - 2) = $

г) $\frac{3x - 6}{x - 4} : (2x - 4) = $

д) $(x^2 - 1) \cdot \frac{3x}{2x - 2} = $

е) $(x^2 - 1) : \frac{2x^2 - 2}{7x + 5} = $

ж) $(x^2 + 4x + 4) \cdot \frac{x + 1}{2x + 4} = $

з) $(x^2 - 6x + 9) : \frac{x^2 - 9}{6x + 1} = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы преобразовать данное выражение в алгебраическую дробь, представим множитель $(x + 3)$ в виде дроби $\frac{x+3}{1}$. Затем разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители. Числитель $x^2 - 1$ является разностью квадратов и раскладывается как $(x-1)(x+1)$. В знаменателе $2x + 6$ вынесем общий множитель 2 за скобки, получив $2(x+3)$.

$\frac{x^2 - 1}{2x + 6} \cdot (x + 3) = \frac{(x-1)(x+1)}{2(x+3)} \cdot \frac{x+3}{1}$

Теперь перемножим дроби и сократим общий множитель $(x+3)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(x-1)(x+1)(x+3)}{2(x+3)} = \frac{(x-1)(x+1)}{2}$

Раскроем скобки в числителе для получения окончательного вида дроби:

$\frac{x^2-1}{2}$

Ответ: $\frac{x^2 - 1}{2}$

б) Для выполнения деления на выражение $(x+1)$, мы умножаем исходную дробь на обратное к $(x+1)$ выражение, то есть на $\frac{1}{x+1}$.

$\frac{x^2 + x}{x - 7} : (x + 1) = \frac{x^2 + x}{x - 7} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Разложим на множители числитель первой дроби, вынеся общий множитель $x$: $x^2 + x = x(x+1)$.

$\frac{x(x+1)}{x - 7} \cdot \frac{1}{x + 1} = \frac{x(x+1)}{(x - 7)(x+1)}$

Сокращаем общий множитель $(x+1)$:

$\frac{x}{x-7}$

Ответ: $\frac{x}{x-7}$

в) Представим множитель $(2x - 2)$ в виде дроби $\frac{2x-2}{1}$ и разложим на множители все возможные части выражения. В знаменателе $x^2 - x$ вынесем $x$ за скобки: $x(x-1)$. В выражении $2x - 2$ вынесем 2 за скобки: $2(x-1)$.

$\frac{x + 2}{x^2 - x} \cdot (2x - 2) = \frac{x + 2}{x(x-1)} \cdot \frac{2(x-1)}{1}$

Перемножим дроби и сократим общий множитель $(x-1)$:

$\frac{2(x + 2)(x-1)}{x(x-1)} = \frac{2(x+2)}{x}$

Ответ: $\frac{2(x+2)}{x}$

г) Деление на выражение $(2x-4)$ заменяем умножением на обратную дробь $\frac{1}{2x-4}$.

$\frac{3x - 6}{x - 4} : (2x - 4) = \frac{3x - 6}{x - 4} \cdot \frac{1}{2x - 4}$

Разложим числитель первой дроби и знаменатель второй на множители. $3x-6 = 3(x-2)$ и $2x-4 = 2(x-2)$.

$\frac{3(x-2)}{x-4} \cdot \frac{1}{2(x-2)} = \frac{3(x-2)}{2(x-4)(x-2)}$

Сокращаем общий множитель $(x-2)$:

$\frac{3}{2(x-4)}$

Ответ: $\frac{3}{2(x-4)}$

д) Представим первый множитель $(x^2 - 1)$ в виде дроби $\frac{x^2-1}{1}$. Разложим его на множители по формуле разности квадратов: $(x-1)(x+1)$. В знаменателе второй дроби $2x-2$ вынесем общий множитель 2: $2(x-1)$.

$(x^2 - 1) \cdot \frac{3x}{2x - 2} = \frac{(x-1)(x+1)}{1} \cdot \frac{3x}{2(x-1)}$

Перемножим дроби и сократим общий множитель $(x-1)$:

$\frac{3x(x-1)(x+1)}{2(x-1)} = \frac{3x(x+1)}{2}$

Ответ: $\frac{3x(x+1)}{2}$

е) Деление на дробь заменяем умножением на обратную (перевернутую) дробь.

$(x^2 - 1) : \frac{2x^2 - 2}{7x + 5} = \frac{x^2 - 1}{1} \cdot \frac{7x + 5}{2x^2 - 2}$

Разложим на множители $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ и $2x^2-2 = 2(x^2-1) = 2(x-1)(x+1)$.

$\frac{(x-1)(x+1)}{1} \cdot \frac{7x + 5}{2(x-1)(x+1)}$

Сокращаем общие множители $(x-1)$ и $(x+1)$:

$\frac{7x+5}{2}$

Ответ: $\frac{7x+5}{2}$

ж) Выражение $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом суммы $(x+2)^2$. В знаменателе дроби $2x+4$ вынесем 2 за скобки: $2(x+2)$.

$(x^2 + 4x + 4) \cdot \frac{x + 1}{2x + 4} = \frac{(x+2)^2}{1} \cdot \frac{x+1}{2(x+2)}$

Перемножим и сократим на общий множитель $(x+2)$:

$\frac{(x+2)^2(x+1)}{2(x+2)} = \frac{(x+2)(x+1)}{2}$

Ответ: $\frac{(x+2)(x+1)}{2}$

з) Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь. Выражение $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности $(x-3)^2$. Выражение $x^2-9$ является разностью квадратов $(x-3)(x+3)$.

$(x^2 - 6x + 9) : \frac{x^2 - 9}{6x + 1} = \frac{(x-3)^2}{1} \cdot \frac{6x+1}{x^2-9} = \frac{(x-3)^2}{1} \cdot \frac{6x+1}{(x-3)(x+3)}$

Перемножим дроби и сократим на общий множитель $(x-3)$:

$\frac{(x-3)^2(6x+1)}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x-3)(6x+1)}{x+3}$

Ответ: $\frac{(x-3)(6x+1)}{x+3}$