Номер 240, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.4. Рациональные выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 240, страница 13.

Условие.

240. Упростите выражение:

a) $\left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) \cdot \frac{x}{x^2 + y^2} = \left( \frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} \right) \cdot \frac{x}{x^2 + y^2} = \dots$

б) $\left( \frac{x}{y} - \frac{y}{x} \right) : \frac{x^2 - y^2}{2y} = \dots$

в) $\left( \frac{x}{y} + 1 \right) \cdot \left( \frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y} \right) = \dots$

г) $\left( \frac{x}{y} - 1 \right) : \left( 1 - \frac{y}{x} \right) = \dots$

Решение.

Решение 2.

а) $(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) \cdot \frac{x}{x^2 + y^2}$

Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $xy$:

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x \cdot x}{y \cdot x} + \frac{y \cdot y}{x \cdot y} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное и выполним умножение:

$(\frac{x^2 + y^2}{xy}) \cdot \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{(x^2 + y^2) \cdot x}{xy \cdot (x^2 + y^2)}$

Сократим общие множители $x$ и $(x^2 + y^2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{(x^2 + y^2)} \cdot \cancel{x}}{\cancel{x}y \cdot \cancel{(x^2 + y^2)}} = \frac{1}{y}$

Ответ: $\frac{1}{y}$

б) $(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) : \frac{x^2 - y^2}{2y}$

Выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $xy$:

$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2}{xy} - \frac{y^2}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{x^2 - y^2}{xy} : \frac{x^2 - y^2}{2y} = \frac{x^2 - y^2}{xy} \cdot \frac{2y}{x^2 - y^2}$

Сократим общие множители $y$ и $(x^2 - y^2)$:

$\frac{\cancel{(x^2 - y^2)} \cdot 2\cancel{y}}{x\cancel{y} \cdot \cancel{(x^2 - y^2)}} = \frac{2}{x}$

Ответ: $\frac{2}{x}$

в) $(\frac{x}{y} + 1) \cdot (\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y})$

Упростим выражение в каждой из скобок по отдельности. Упростим первую скобку:

$\frac{x}{y} + 1 = \frac{x}{y} + \frac{y}{y} = \frac{x + y}{y}$

Теперь упростим вторую скобку, приведя дроби к общему знаменателю $(x+y)(x-y)$:

$\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y} = \frac{1 \cdot (x - y)}{(x + y)(x - y)} + \frac{1 \cdot (x + y)}{(x + y)(x - y)} = \frac{x - y + x + y}{(x + y)(x - y)} = \frac{2x}{x^2 - y^2}$

Перемножим полученные выражения:

$\frac{x + y}{y} \cdot \frac{2x}{(x + y)(x - y)} = \frac{(x + y) \cdot 2x}{y \cdot (x + y)(x - y)}$

Сократим общий множитель $(x+y)$:

$\frac{\cancel{(x + y)} \cdot 2x}{y \cdot \cancel{(x + y)}(x - y)} = \frac{2x}{y(x - y)}$

Ответ: $\frac{2x}{y(x - y)}$

г) $(\frac{x}{y} - 1) : (1 - \frac{y}{x})$

Упростим выражение в каждой из скобок. Первая скобка:

$\frac{x}{y} - 1 = \frac{x}{y} - \frac{y}{y} = \frac{x - y}{y}$

Вторая скобка:

$1 - \frac{y}{x} = \frac{x}{x} - \frac{y}{x} = \frac{x - y}{x}$

Теперь выполним деление полученных дробей, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{x - y}{y} : \frac{x - y}{x} = \frac{x - y}{y} \cdot \frac{x}{x - y}$

Сократим общий множитель $(x-y)$:

$\frac{\cancel{(x - y)} \cdot x}{y \cdot \cancel{(x - y)}} = \frac{x}{y}$

Ответ: $\frac{x}{y}$