Номер 247, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.6. Тождественное равенство рациональных выражений. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 247, страница 18.

Условие.

247. Докажите тождество:

a) $(\frac{x^2 + x + 1}{x^2 - x + 1} - \frac{x + 1}{x - 1}) \cdot \frac{x^3 + 1}{2} = \frac{x + 1}{1 - x};$

Доказательство.

б) $(\frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} - \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 2}) : \frac{8}{2 - x} = \frac{2}{x + 2}.$

Решение.

Решение 2.

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала выполним действие в скобках, приведя дроби к общему знаменателю.

1. Общий знаменатель для дробей в скобках: $(x^2 - x + 1)(x - 1)$.

$ \left( \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - x + 1} - \frac{x + 1}{x - 1} \right) = \frac{(x^2 + x + 1)(x - 1) - (x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x^2 - x + 1)(x - 1)} $

2. Применим формулы разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ к выражениям в числителе.

$ (x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1 $

$ (x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1 $

Подставим полученные выражения обратно в числитель дроби:

$ \frac{(x^3 - 1) - (x^3 + 1)}{(x^2 - x + 1)(x - 1)} = \frac{x^3 - 1 - x^3 - 1}{(x^2 - x + 1)(x - 1)} = \frac{-2}{(x^2 - x + 1)(x - 1)} $

3. Теперь умножим результат на дробь $ \frac{x^3 + 1}{2} $. Разложим $x^3+1$ на множители по формуле суммы кубов.

$ \frac{-2}{(x^2 - x + 1)(x - 1)} \cdot \frac{x^3 + 1}{2} = \frac{-2}{(x^2 - x + 1)(x - 1)} \cdot \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{2} $

4. Сократим общие множители $2$ и $(x^2 - x + 1)$ в числителе и знаменателе.

$ \frac{-1 \cdot (x + 1)}{x - 1} = \frac{-(x + 1)}{x - 1} $

5. Чтобы получить выражение, стоящее в правой части тождества, вынесем знак "-" в знаменателе за скобки.

$ \frac{-(x + 1)}{-(1 - x)} = \frac{x + 1}{1 - x} $

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала выполним вычитание дробей в скобках.

1. Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 2)(x - 2)$.

$ \left( \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} - \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 2} \right) = \frac{(x^2 + 2x + 4)(x - 2) - (x^2 - 2x + 4)(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} $

2. В числителе узнаем формулы разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

$ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8 $

$ (x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8 $

Подставим эти выражения в числитель:

$ \frac{(x^3 - 8) - (x^3 + 8)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{x^3 - 8 - x^3 - 8}{x^2 - 4} = \frac{-16}{x^2 - 4} $

3. Теперь выполним деление полученной дроби на $ \frac{8}{2 - x} $. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$ \frac{-16}{x^2 - 4} : \frac{8}{2 - x} = \frac{-16}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{2 - x}{8} $

4. Заметим, что $2 - x = -(x - 2)$, и подставим это в выражение, чтобы сократить дробь.

$ \frac{-16}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{-(x - 2)}{8} $

Сокращаем числитель и знаменатель на $8$ и на $(x-2)$:

$ \frac{-2}{x + 2} \cdot (-1) = \frac{2}{x + 2} $

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.