Номер 241, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.4. Рациональные выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 241, страница 14.

Условие.

241. Преобразуйте выражение:

а) $\frac{a+b}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{a+b}{\frac{b}{ab} + \frac{a}{ab}} = \frac{a+b}{1} : \left( \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} \right) = $

б) $\frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{a - b} = \frac{\frac{b}{ab} - \frac{a}{ab}}{a - b} = $

в) $\frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = $

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы упростить выражение $ \frac{a+b}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} $, сначала выполним сложение в знаменателе.

1. Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $ab$: $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{b+a}{ab} $$

2. Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение. Получится многоэтажная дробь: $$ \frac{a+b}{\frac{a+b}{ab}} $$

3. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь: $$ (a+b) \div \frac{a+b}{ab} = (a+b) \cdot \frac{ab}{a+b} $$

4. Сократим общий множитель $(a+b)$ в числителе и знаменателе (при условии $a+b \neq 0$): $$ \frac{(a+b) \cdot ab}{a+b} = ab $$

Ответ: $ab$

б)

Упростим выражение $ \frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{a-b} $.

1. Сначала выполним вычитание в числителе. Общий знаменатель также $ab$: $$ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{b-a}{ab} $$

2. Подставим результат в исходную дробь: $$ \frac{\frac{b-a}{ab}}{a-b} $$

3. Запишем выражение в виде деления и заменим деление на умножение: $$ \frac{b-a}{ab} \div (a-b) = \frac{b-a}{ab} \cdot \frac{1}{a-b} $$

4. Заметим, что $b-a = -(a-b)$. Вынесем минус за скобки в числителе: $$ \frac{-(a-b)}{ab} \cdot \frac{1}{a-b} $$

5. Сократим общий множитель $(a-b)$ (при условии $a-b \neq 0$): $$ \frac{-1 \cdot (a-b)}{ab \cdot (a-b)} = -\frac{1}{ab} $$

Ответ: $-\frac{1}{ab}$

в)

Упростим выражение $ \frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} $.

1. Мы уже упростили числитель и знаменатель в предыдущих пунктах.

Числитель: $ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b-a}{ab} $

Знаменатель: $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} $

2. Подставим упрощенные выражения в исходную дробь: $$ \frac{\frac{b-a}{ab}}{\frac{a+b}{ab}} $$

3. Разделим одну дробь на другую, заменив деление умножением на обратную дробь: $$ \frac{b-a}{ab} \cdot \frac{ab}{a+b} $$

4. Сократим общий множитель $ab$ (при условии $a \neq 0, b \neq 0$): $$ \frac{(b-a) \cdot ab}{(a+b) \cdot ab} = \frac{b-a}{a+b} $$

Ответ: $\frac{b-a}{a+b}$