Страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

31. Пилот объявил, что самолёт пролетел 2400 км и осталось пролететь 1200 км. Какую часть пути пролетел самолёт? Какую часть пути ему осталось пролететь?

Для решения задачи сначала необходимо определить общую длину всего пути. Общий путь — это сумма уже пройденного расстояния и оставшегося.

1. Найдем общую протяженность пути:

Пройденное расстояние = 2400 км.

Оставшееся расстояние = 1200 км.

Общий путь = $2400 + 1200 = 3600$ км.

Теперь, зная общую длину пути, мы можем найти, какую его часть составляют пройденное и оставшееся расстояния.

Какую часть пути пролетел самолёт?

Чтобы найти, какую часть от всего пути составляет пройденное расстояние, нужно разделить пройденное расстояние на общую длину пути.

Часть пройденного пути = $\frac{\text{Пройденное расстояние}}{\text{Общий путь}} = \frac{2400}{3600}$

Теперь нужно сократить полученную дробь. И числитель, и знаменатель можно разделить на 1200:

$\frac{2400 \div 1200}{3600 \div 1200} = \frac{2}{3}$

Таким образом, самолёт пролетел $\frac{2}{3}$ всего пути.

Ответ: Самолёт пролетел $\frac{2}{3}$ пути.

Какую часть пути ему осталось пролететь?

Чтобы найти, какую часть пути осталось пролететь, нужно разделить оставшееся расстояние на общую длину пути.

Часть оставшегося пути = $\frac{\text{Оставшееся расстояние}}{\text{Общий путь}} = \frac{1200}{3600}$

Сократим эту дробь, так же разделив числитель и знаменатель на 1200:

$\frac{1200 \div 1200}{3600 \div 1200} = \frac{1}{3}$

Другой способ — это вычесть из единицы (весь путь) уже пройденную часть:

$1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Следовательно, самолёту осталось пролететь $\frac{1}{3}$ всего пути.

Ответ: Самолёту осталось пролететь $\frac{1}{3}$ пути.

32. Опытный учитель проверит пачку тетрадей за 40 мин, а молодой учитель — за 60 мин. За сколько минут они проверят пачку тетрадей при совместной работе?

Примем всю работу за единицу.

1) Какую часть пачки тетрадей проверяет опытный учитель в минуту?

$1 : 40 = \frac{1}{40}$ (часть).

2) Какую часть пачки тетрадей проверяет молодой учитель в минуту?

..........

3) Какую часть пачки тетрадей проверяют оба учителя в минуту при совместной работе?

..........

4) За сколько минут они проверят пачку тетрадей при совместной работе?

..........

Ответ. За .......... мин.

1) Какую часть пачки тетрадей проверяет опытный учитель в минуту?

Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени. Если всю работу (проверку одной пачки тетрадей) принять за 1, то производительность опытного учителя, который тратит на всю работу 40 минут, составит:

$1 : 40 = \frac{1}{40}$ (часть пачки в минуту).

Ответ: опытный учитель проверяет $\frac{1}{40}$ часть пачки в минуту.

2) Какую часть пачки тетрадей проверяет молодой учитель в минуту?

Аналогично, производительность молодого учителя, который тратит на всю работу 60 минут, составит:

$1 : 60 = \frac{1}{60}$ (часть пачки в минуту).

Ответ: молодой учитель проверяет $\frac{1}{60}$ часть пачки в минуту.

3) Какую часть пачки тетрадей проверяют оба учителя в минуту при совместной работе?

При совместной работе их производительности складываются. Чтобы найти общую производительность, сложим производительности каждого учителя. Для этого приведем дроби $\frac{1}{40}$ и $\frac{1}{60}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 40 и 60 — это 120.

$\frac{1}{40} + \frac{1}{60} = \frac{1 \cdot 3}{120} + \frac{1 \cdot 2}{120} = \frac{3}{120} + \frac{2}{120} = \frac{3+2}{120} = \frac{5}{120}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{5}{120} = \frac{1}{24}$ (часть пачки в минуту).

Ответ: при совместной работе оба учителя проверяют $\frac{1}{24}$ часть пачки в минуту.

4) За сколько минут они проверят пачку тетрадей при совместной работе?

Чтобы найти время, за которое будет выполнена вся работа (1) при известной совместной производительности ($\frac{1}{24}$), нужно разделить всю работу на совместную производительность:

$1 : \frac{1}{24} = 1 \cdot \frac{24}{1} = 24$ (минуты).

Ответ: при совместной работе они проверят пачку тетрадей за 24 минуты.

241. Преобразуйте выражение:

а) $\frac{a+b}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{a+b}{\frac{b}{ab} + \frac{a}{ab}} = \frac{a+b}{1} : \left( \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} \right) = $

б) $\frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{a - b} = \frac{\frac{b}{ab} - \frac{a}{ab}}{a - b} = $

в) $\frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = $

а)

Чтобы упростить выражение $ \frac{a+b}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} $, сначала выполним сложение в знаменателе.

1. Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $ab$: $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{b+a}{ab} $$

2. Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение. Получится многоэтажная дробь: $$ \frac{a+b}{\frac{a+b}{ab}} $$

3. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь: $$ (a+b) \div \frac{a+b}{ab} = (a+b) \cdot \frac{ab}{a+b} $$

4. Сократим общий множитель $(a+b)$ в числителе и знаменателе (при условии $a+b \neq 0$): $$ \frac{(a+b) \cdot ab}{a+b} = ab $$

Ответ: $ab$

б)

Упростим выражение $ \frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{a-b} $.

1. Сначала выполним вычитание в числителе. Общий знаменатель также $ab$: $$ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{b-a}{ab} $$

2. Подставим результат в исходную дробь: $$ \frac{\frac{b-a}{ab}}{a-b} $$

3. Запишем выражение в виде деления и заменим деление на умножение: $$ \frac{b-a}{ab} \div (a-b) = \frac{b-a}{ab} \cdot \frac{1}{a-b} $$

4. Заметим, что $b-a = -(a-b)$. Вынесем минус за скобки в числителе: $$ \frac{-(a-b)}{ab} \cdot \frac{1}{a-b} $$

5. Сократим общий множитель $(a-b)$ (при условии $a-b \neq 0$): $$ \frac{-1 \cdot (a-b)}{ab \cdot (a-b)} = -\frac{1}{ab} $$

Ответ: $-\frac{1}{ab}$

в)

Упростим выражение $ \frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} $.

1. Мы уже упростили числитель и знаменатель в предыдущих пунктах.

Числитель: $ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b-a}{ab} $

Знаменатель: $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} $

2. Подставим упрощенные выражения в исходную дробь: $$ \frac{\frac{b-a}{ab}}{\frac{a+b}{ab}} $$

3. Разделим одну дробь на другую, заменив деление умножением на обратную дробь: $$ \frac{b-a}{ab} \cdot \frac{ab}{a+b} $$

4. Сократим общий множитель $ab$ (при условии $a \neq 0, b \neq 0$): $$ \frac{(b-a) \cdot ab}{(a+b) \cdot ab} = \frac{b-a}{a+b} $$

Ответ: $\frac{b-a}{a+b}$

242. Упростите выражение:

а) $\left(\frac{(x+y)^2}{xy} - 4\right) \cdot \frac{5x^2}{(x-y)^2} =$

б) $\left(\frac{(x-y)^2}{xy} + 4\right) \cdot \frac{3y^2}{(x+y)^2} =$

в) $\left(\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}\right) : \left(\frac{2}{y} + \frac{2}{x}\right) =$

г) $\left(\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x}\right) : \left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right) =$

а) $\left(\frac{(x+y)^2}{xy} - 4\right) \cdot \frac{5x^2}{(x-y)^2}$

Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $xy$:

$\frac{(x+y)^2}{xy} - 4 = \frac{(x+y)^2 - 4xy}{xy}$

Раскроем квадрат суммы в числителе и упростим:

$(x+y)^2 - 4xy = (x^2 + 2xy + y^2) - 4xy = x^2 - 2xy + y^2$

Полученный числитель является полным квадратом разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{(x-y)^2}{xy}$.

Теперь выполним умножение:

$\frac{(x-y)^2}{xy} \cdot \frac{5x^2}{(x-y)^2}$

Сократим одинаковые множители $(x-y)^2$ в числителе и знаменателе, а также $x$:

$\frac{1}{y} \cdot \frac{5x}{1} = \frac{5x}{y}$

Ответ: $\frac{5x}{y}$

б) $\left(\frac{(x-y)^2}{xy} + 4\right) \cdot \frac{3y^2}{(x+y)^2}$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $xy$:

$\frac{(x-y)^2}{xy} + 4 = \frac{(x-y)^2 + 4xy}{xy}$

Раскроем квадрат разности в числителе и упростим:

$(x-y)^2 + 4xy = (x^2 - 2xy + y^2) + 4xy = x^2 + 2xy + y^2$

Полученный числитель является полным квадратом суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

Выражение в скобках равно $\frac{(x+y)^2}{xy}$.

Теперь выполним умножение:

$\frac{(x+y)^2}{xy} \cdot \frac{3y^2}{(x+y)^2}$

Сократим одинаковые множители $(x+y)^2$ в числителе и знаменателе, а также $y$:

$\frac{1}{x} \cdot \frac{3y}{1} = \frac{3y}{x}$

Ответ: $\frac{3y}{x}$

в) $\left(\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}\right) : \left(\frac{2}{y} + \frac{2}{x}\right)$

Упростим первое выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $xy$:

$\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x} = \frac{x^2}{xy} + \frac{2xy}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{xy} = \frac{(x+y)^2}{xy}$

Упростим второе выражение в скобках, также приведя к общему знаменателю $xy$:

$\frac{2}{y} + \frac{2}{x} = \frac{2x}{xy} + \frac{2y}{xy} = \frac{2x+2y}{xy} = \frac{2(x+y)}{xy}$

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{(x+y)^2}{xy} : \frac{2(x+y)}{xy} = \frac{(x+y)^2}{xy} \cdot \frac{xy}{2(x+y)}$

Сократим общие множители $xy$ и $(x+y)$:

$\frac{x+y}{1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{x+y}{2}$

Ответ: $\frac{x+y}{2}$

г) $\left(\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x}\right) : \left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right)$

Упростим первое выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $xy$:

$\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x} = \frac{x^2}{xy} - \frac{2xy}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{xy} = \frac{(x-y)^2}{xy}$

Упростим второе выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $xy$:

$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2}{xy} - \frac{y^2}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$

Числитель второго выражения является разностью квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Теперь выполним деление:

$\frac{(x-y)^2}{xy} : \frac{(x-y)(x+y)}{xy} = \frac{(x-y)^2}{xy} \cdot \frac{xy}{(x-y)(x+y)}$

Сократим общие множители $xy$ и $(x-y)$:

$\frac{x-y}{1} \cdot \frac{1}{x+y} = \frac{x-y}{x+y}$

Ответ: $\frac{x-y}{x+y}$