Страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

33. Токарь может выполнить задание за 3 дня, а его ученик — за

6 дней. За сколько дней они выполнят задание при совместной

работе?

Примем всю работу за единицу.

1) Какую часть задания может выполнить токарь за 1 день?

....................

2) Какую часть задания ........................

....................

3) Какую часть задания ........................

....................

4) За сколько дней они выполнят задание при совместной работе?

....................

....................

Ответ. За ............ дней.

1) Какую часть задания может выполнить токарь за 1 день?
Примем всю работу за единицу (1). Если токарь выполняет всю работу за 3 дня, то за 1 день он выполнит $1 \div 3 = 1/3$ часть задания.
Ответ: $1/3$ часть задания.

2) Какую часть задания (может выполнить ученик за 1 день?)
Ученик выполняет всю работу за 6 дней. Следовательно, за 1 день он выполнит $1 \div 6 = 1/6$ часть задания.
Ответ: $1/6$ часть задания.

3) Какую часть задания (они выполнят вместе за 1 день?)
Чтобы узнать, какую часть задания они выполнят вместе за 1 день, нужно сложить их производительности (части задания, выполняемые за 1 день): $1/3 + 1/6$. Приведем дроби к общему знаменателю 6: $2/6 + 1/6 = 3/6$. Сократив дробь, получим $1/2$.
Ответ: $1/2$ часть задания.

4) За сколько дней они выполнят задание при совместной работе?
Чтобы найти, за сколько дней они выполнят всю работу вместе, нужно разделить всю работу (1) на их совместную производительность за 1 день ($1/2$): $1 \div (1/2) = 1 \cdot 2 = 2$ дня.
Ответ: 2 дня.

Ответ. За 2 дня.

34. Два тракториста при совместной работе вспахали поле за 4 ч. Первый тракторист один может вспахать это поле за 6 ч. За сколько часов второй тракторист может вспахать это поле? Примем всю работу за единицу.

1) $1 : 4 = \frac{1}{4}$ (часть) — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2) $1 : 6 = \frac{1}{6}$ (часть) — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3) $\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$ (часть) — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4) $1 : \frac{1}{12} = 12$ (ч) — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1) $1:4=\frac{1}{4}$ (часть) — совместная производительность двух трактористов. Это часть поля, которую они вспахивают за 1 час, работая вместе.

2) $1:6=\frac{1}{6}$ (часть) — производительность первого тракториста. Это часть поля, которую он вспахивает за 1 час, работая один.

3) $\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{3}{12}-\frac{2}{12}=\frac{1}{12}$ (часть) — производительность второго тракториста. Чтобы её найти, мы из совместной производительности вычитаем производительность первого тракториста. Это часть поля, которую второй тракторист вспахивает за 1 час.

4) $1:\frac{1}{12}=1 \cdot 12=12$ (ч) — время, за которое второй тракторист может вспахать всё поле. Для этого необходимо всю работу (принятую за 1) разделить на производительность второго тракториста.

Ответ: второй тракторист может вспахать это поле за 12 часов.

243. Найдите значение выражения при заданном значении буквы:

а) если $x = 1,7$, то $\frac{2}{x} + \frac{7}{5x} =$

б) если $y = -1,5$, то $\frac{2}{y} - \frac{10}{3y} =$

в) если $x = 5,5$, то $(\frac{1}{6x} + \frac{1}{3x}) \cdot \frac{x^2}{11} =$

г) если $y = -1,2$, то $(\frac{1}{2y} - \frac{1}{8y}) : \frac{3}{10y^2} =$

а) Сначала упростим выражение, приведя дроби к общему знаменателю $5x$:
$\frac{2}{x} + \frac{7}{5x} = \frac{2 \cdot 5}{x \cdot 5} + \frac{7}{5x} = \frac{10}{5x} + \frac{7}{5x} = \frac{10+7}{5x} = \frac{17}{5x}$
Теперь подставим значение $x = 1,7$ в упрощенное выражение:
$\frac{17}{5 \cdot 1,7} = \frac{17}{8,5}$
Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:
$\frac{17 \cdot 10}{8,5 \cdot 10} = \frac{170}{85} = 2$
Ответ: 2

б) Упростим выражение, найдя общий знаменатель $3y$:
$\frac{2}{y} - \frac{10}{3y} = \frac{2 \cdot 3}{y \cdot 3} - \frac{10}{3y} = \frac{6}{3y} - \frac{10}{3y} = \frac{6-10}{3y} = \frac{-4}{3y}$
Подставим значение $y = -1,5$:
$\frac{-4}{3 \cdot (-1,5)} = \frac{-4}{-4,5} = \frac{4}{4,5}$
Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от дроби в знаменателе:
$\frac{4 \cdot 10}{4,5 \cdot 10} = \frac{40}{45}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{40 \div 5}{45 \div 5} = \frac{8}{9}$
Ответ: $\frac{8}{9}$

в) Сначала выполним действие в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $6x$:
$\frac{1}{6x} + \frac{1}{3x} = \frac{1}{6x} + \frac{1 \cdot 2}{3x \cdot 2} = \frac{1}{6x} + \frac{2}{6x} = \frac{1+2}{6x} = \frac{3}{6x} = \frac{1}{2x}$
Теперь выполним умножение:
$\frac{1}{2x} \cdot \frac{x^2}{11} = \frac{1 \cdot x^2}{2x \cdot 11} = \frac{x^2}{22x}$
Сократим дробь на $x$:
$\frac{x}{22}$
Подставим значение $x = 5,5$:
$\frac{5,5}{22} = \frac{5,5 \cdot 2}{22 \cdot 2} = \frac{11}{44} = \frac{1}{4} = 0,25$
Ответ: 0,25

г) Упростим выражение в скобках, найдя общий знаменатель $8y$:
$\frac{1}{2y} - \frac{1}{8y} = \frac{1 \cdot 4}{2y \cdot 4} - \frac{1}{8y} = \frac{4}{8y} - \frac{1}{8y} = \frac{4-1}{8y} = \frac{3}{8y}$
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{3}{8y} : \frac{3}{10y^2} = \frac{3}{8y} \cdot \frac{10y^2}{3}$
Сократим одинаковые множители (3), а также $y$ и числа в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{3}}{\cancel{8}_{4} \cancel{y}} \cdot \frac{\cancel{10}_{5} y^{\cancel{2}}}{\cancel{3}} = \frac{5y}{4}$
Подставим значение $y = -1,2$:
$\frac{5 \cdot (-1,2)}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1,5$
Ответ: -1,5

244. Найдите значение рационального выражения:

а) если $a = -2,7, b = -7,3$, то $\left( \frac{(a - b)^2}{a} + 4b \right) \cdot \frac{3a}{25} = \dots$

б) если $a = 5\frac{4}{7}, b = 4\frac{3}{7}$, то $\frac{a^2 - b^2}{2ab} : \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \right) = \dots$

в) если $a = 13\frac{1}{17}, b = 11\frac{1}{17}$, то $\left( \frac{(a + b)^2}{b} - 4a \right) : \frac{1}{2b} = \dots$

г) если $a = 3\frac{1}{13}, b = 4\frac{3}{13}$, то $\frac{a^2 - 16b^2}{4ab} : \left( \frac{1}{4b} - \frac{1}{a} \right) = \dots$

а) Сначала упростим данное выражение. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $a$:

$\Big(\dfrac{(a - b)^2}{a} + 4b\Big) \cdot \dfrac{3a}{25} = \dfrac{(a - b)^2 + 4ab}{a} \cdot \dfrac{3a}{25}$

Раскроем квадрат разности в числителе первой дроби и упростим его:

$(a - b)^2 + 4ab = a^2 - 2ab + b^2 + 4ab = a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

Теперь подставим упрощенный числитель обратно в выражение:

$\dfrac{(a + b)^2}{a} \cdot \dfrac{3a}{25}$

Сократим $a$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 0$):

$\dfrac{(a + b)^2}{\cancel{a}} \cdot \dfrac{3\cancel{a}}{25} = \dfrac{3(a + b)^2}{25}$

Теперь подставим числовые значения $a = -2,7$ и $b = -7,3$:

$a + b = -2,7 + (-7,3) = -10$

$\dfrac{3(-10)^2}{25} = \dfrac{3 \cdot 100}{25} = 3 \cdot 4 = 12$

Ответ: 12

б) Сначала упростим данное выражение. Начнем с выражения в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ab$:

$\dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a - b}{ab}$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$\dfrac{a^2 - b^2}{2ab} : \dfrac{a - b}{ab}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\dfrac{a^2 - b^2}{2ab} \cdot \dfrac{ab}{a - b}$

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$\dfrac{(a - b)(a + b)}{2ab} \cdot \dfrac{ab}{a - b}$

Сократим одинаковые множители $(a-b)$ и $ab$ (при условии, что $a \neq b$, $a \neq 0$, $b \neq 0$):

$\dfrac{\cancel{(a - b)}(a + b)}{2\cancel{ab}} \cdot \dfrac{\cancel{ab}}{\cancel{a - b}} = \dfrac{a + b}{2}$

Теперь подставим числовые значения $a = 5\dfrac{4}{7}$ и $b = 4\dfrac{3}{7}$:

$a + b = 5\dfrac{4}{7} + 4\dfrac{3}{7} = (5 + 4) + \Big(\dfrac{4}{7} + \dfrac{3}{7}\Big) = 9 + \dfrac{7}{7} = 9 + 1 = 10$

$\dfrac{a + b}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$

Ответ: 5

в) Сначала упростим данное выражение. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $b$:

$\Big(\dfrac{(a + b)^2}{b} - 4a\Big) : \dfrac{1}{2b} = \dfrac{(a + b)^2 - 4ab}{b} : \dfrac{1}{2b}$

Раскроем квадрат суммы в числителе и упростим его:

$(a + b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

Подставим упрощенный числитель обратно в выражение и заменим деление на умножение:

$\dfrac{(a - b)^2}{b} \cdot 2b$

Сократим $b$ (при условии, что $b \neq 0$):

$\dfrac{(a - b)^2}{\cancel{b}} \cdot 2\cancel{b} = 2(a - b)^2$

Теперь подставим числовые значения $a = 13\dfrac{1}{17}$ и $b = 11\dfrac{1}{17}$:

$a - b = 13\dfrac{1}{17} - 11\dfrac{1}{17} = (13 - 11) + \Big(\dfrac{1}{17} - \dfrac{1}{17}\Big) = 2 + 0 = 2$

$2(a - b)^2 = 2 \cdot (2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$

Ответ: 8

г) Сначала упростим данное выражение. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $4ab$:

$\dfrac{1}{4b} - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a - 4b}{4ab}$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$\dfrac{a^2 - 16b^2}{4ab} : \dfrac{a - 4b}{4ab}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\dfrac{a^2 - 16b^2}{4ab} \cdot \dfrac{4ab}{a - 4b}$

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2 - 16b^2 = (a - 4b)(a + 4b)$:

$\dfrac{(a - 4b)(a + 4b)}{4ab} \cdot \dfrac{4ab}{a - 4b}$

Сократим одинаковые множители $(a - 4b)$ и $4ab$ (при условии, что $a \neq 4b$, $a \neq 0$, $b \neq 0$):

$\dfrac{\cancel{(a - 4b)}(a + 4b)}{\cancel{4ab}} \cdot \dfrac{\cancel{4ab}}{\cancel{a - 4b}} = a + 4b$

Теперь подставим числовые значения $a = 3\dfrac{1}{13}$ и $b = 4\dfrac{3}{13}$. Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$a = 3\dfrac{1}{13} = \dfrac{3 \cdot 13 + 1}{13} = \dfrac{40}{13}$

$b = 4\dfrac{3}{13} = \dfrac{4 \cdot 13 + 3}{13} = \dfrac{55}{13}$

Вычислим значение выражения $a + 4b$:

$a + 4b = \dfrac{40}{13} + 4 \cdot \dfrac{55}{13} = \dfrac{40}{13} + \dfrac{220}{13} = \dfrac{40 + 220}{13} = \dfrac{260}{13} = 20$

Ответ: 20