Страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

42. Соедините линией равные дроби:

$ \frac{1}{3} $ $ \frac{3}{1} $ $ \frac{4}{9} $ $ \frac{5}{9} $ $ \frac{6}{9} $ $ \frac{7}{9} $ $ \frac{8}{9} $

$ 3,(0) $ $ 0,(3) $ $ 0,(5) $ $ 0,(4) $ $ 0,(7) $ $ 0,(6) $ $ 0,(8) $

$ \frac{17}{99} $ $ \frac{19}{99} $ $ \frac{47}{99} $ $ \frac{49}{99} $ $ \frac{14}{99} $ $ \frac{37}{99} $ $ \frac{71}{99} $

$ 0,(19) $ $ 0,(17) $ $ 0,(49) $ $ 0,(47) $ $ 0,(37) $ $ 0,(14) $ $ 0,(71) $

Для решения этой задачи необходимо сопоставить обыкновенные дроби с равными им периодическими десятичными дробями. Для этого мы будем преобразовывать периодические дроби в обыкновенные или, наоборот, обыкновенные дроби в десятичные.

Правило преобразования чистой периодической дроби в обыкновенную:

Чтобы преобразовать чистую периодическую десятичную дробь в обыкновенную, нужно в числитель дроби записать число, стоящее в периоде, а в знаменатель — число, состоящее из такого же количества девяток, сколько цифр в периоде.

• Для дроби с одной цифрой в периоде: $0,(a) = \frac{a}{9}$
• Для дроби с двумя цифрами в периоде: $0,(ab) = \frac{ab}{99}$

Сопоставим дроби из первого и второго рядов, применяя указанное правило или выполняя деление.

• Дробь $\frac{1}{3}$. Чтобы преобразовать ее в десятичную, разделим 1 на 3: $1 \div 3 = 0,333... = 0,(3)$. Таким образом, дробь $\frac{1}{3}$ соответствует $0,(3)$.
• Дробь $\frac{3}{1}$. Эта дробь равна целому числу 3. В виде десятичной дроби это 3,0, что можно записать как периодическую дробь $3,(0)$. Таким образом, дробь $\frac{3}{1}$ соответствует $3,(0)$.
• Дробь $\frac{4}{9}$. По правилу преобразования, $0,(4) = \frac{4}{9}$. Таким образом, дробь $\frac{4}{9}$ соответствует $0,(4)$.
• Дробь $\frac{5}{9}$. По правилу, $0,(5) = \frac{5}{9}$. Таким образом, дробь $\frac{5}{9}$ соответствует $0,(5)$.
• Дробь $\frac{6}{9}$. По правилу, $0,(6) = \frac{6}{9}$. Таким образом, дробь $\frac{6}{9}$ соответствует $0,(6)$.
• Дробь $\frac{7}{9}$. По правилу, $0,(7) = \frac{7}{9}$. Таким образом, дробь $\frac{7}{9}$ соответствует $0,(7)$.
• Дробь $\frac{8}{9}$. По правилу, $0,(8) = \frac{8}{9}$. Таким образом, дробь $\frac{8}{9}$ соответствует $0,(8)$.

Ответ:

• $\frac{1}{3} = 0,(3)$
• $\frac{3}{1} = 3,(0)$
• $\frac{4}{9} = 0,(4)$
• $\frac{5}{9} = 0,(5)$
• $\frac{6}{9} = 0,(6)$
• $\frac{7}{9} = 0,(7)$
• $\frac{8}{9} = 0,(8)$

Сопоставим дроби из третьего и четвертого рядов, используя правило для периода из двух цифр.

• Дробь $\frac{17}{99}$. По правилу преобразования, периодическая дробь $0,(17)$ равна $\frac{17}{99}$. Таким образом, дробь $\frac{17}{99}$ соответствует $0,(17)$.
• Дробь $\frac{19}{99}$. Аналогично, $0,(19) = \frac{19}{99}$. Таким образом, дробь $\frac{19}{99}$ соответствует $0,(19)$.
• Дробь $\frac{47}{99}$. Аналогично, $0,(47) = \frac{47}{99}$. Таким образом, дробь $\frac{47}{99}$ соответствует $0,(47)$.
• Дробь $\frac{49}{99}$. Аналогично, $0,(49) = \frac{49}{99}$. Таким образом, дробь $\frac{49}{99}$ соответствует $0,(49)$.
• Дробь $\frac{14}{99}$. Аналогично, $0,(14) = \frac{14}{99}$. Таким образом, дробь $\frac{14}{99}$ соответствует $0,(14)$.
• Дробь $\frac{37}{99}$. Аналогично, $0,(37) = \frac{37}{99}$. Таким образом, дробь $\frac{37}{99}$ соответствует $0,(37)$.
• Дробь $\frac{71}{99}$. Аналогично, $0,(71) = \frac{71}{99}$. Таким образом, дробь $\frac{71}{99}$ соответствует $0,(71)$.

Ответ:

• $\frac{17}{99} = 0,(17)$
• $\frac{19}{99} = 0,(19)$
• $\frac{47}{99} = 0,(47)$
• $\frac{49}{99} = 0,(49)$
• $\frac{14}{99} = 0,(14)$
• $\frac{37}{99} = 0,(37)$
• $\frac{71}{99} = 0,(71)$

43. Запишите обыкновенную дробь в виде периодической дроби:

$\frac{1}{3} = \frac{3}{9} = 0,(3);$

$\frac{3}{11} = \frac{27}{99} = 0,(27);$

$\frac{5}{90} = 0,0(5);$

5,000... | 90

450 | 0,0555...

----------

500

450

----------

500

...

a) $\frac{2}{11} = \text{...}$

б) $\frac{10}{11} = \text{...}$

в) $\frac{5}{33} = \text{...}$

г) $\frac{28}{33} = \text{...}$

д) $\frac{7}{90} = \text{...}$

e) $\frac{8}{90} = \text{...}$

ж) $\frac{23}{990} = \text{...}$

з) $\frac{125}{999} = \text{...}$

а) Чтобы представить дробь $\frac{2}{11}$ в виде периодической, можно либо разделить числитель на знаменатель столбиком, либо привести дробь к знаменателю, состоящему из девяток. Приведем дробь к знаменателю 99, умножив числитель и знаменатель на 9: $\frac{2}{11} = \frac{2 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{18}{99}$. Дробь вида $\frac{ab}{99}$ равна периодической дроби $0,(ab)$. Таким образом, $\frac{18}{99} = 0,(18)$.
Ответ: $0,(18)$

б) Аналогично предыдущему пункту, приведем дробь $\frac{10}{11}$ к знаменателю 99. Умножим числитель и знаменатель на 9: $\frac{10}{11} = \frac{10 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{90}{99}$. Следовательно, $\frac{90}{99} = 0,(90)$.
Ответ: $0,(90)$

в) Чтобы представить дробь $\frac{5}{33}$ в виде периодической, приведем ее к знаменателю 99. Для этого умножим числитель и знаменатель на 3: $\frac{5}{33} = \frac{5 \cdot 3}{33 \cdot 3} = \frac{15}{99}$. Таким образом, $\frac{15}{99} = 0,(15)$.
Ответ: $0,(15)$

г) Приведем дробь $\frac{28}{33}$ к знаменателю 99, умножив числитель и знаменатель на 3: $\frac{28}{33} = \frac{28 \cdot 3}{33 \cdot 3} = \frac{84}{99}$. Следовательно, $\frac{84}{99} = 0,(84)$.
Ответ: $0,(84)$

д) Для дроби $\frac{7}{90}$ знаменатель содержит множители 9 и 10. Такие дроби превращаются в смешанные периодические дроби. Представим дробь в виде $\frac{7}{90} = \frac{1}{10} \cdot \frac{7}{9}$. Так как $\frac{7}{9} = 0,(7)$, то, умножая на $\frac{1}{10}$, мы сдвигаем десятичную запятую на один знак влево: $0,777... \div 10 = 0,0777...$. Это смешанная периодическая дробь, где 0 — предпериод, а 7 — период. Таким образом, $\frac{7}{90} = 0,0(7)$.
Ответ: $0,0(7)$

е) Для дроби $\frac{8}{90}$ можно поступить так же, как и в предыдущем пункте. Представим дробь в виде $\frac{8}{90} = \frac{1}{10} \cdot \frac{8}{9}$. Так как $\frac{8}{9} = 0,(8)$, то $\frac{1}{10} \cdot 0,(8) = 0,0(8)$. Также можно было сначала сократить дробь: $\frac{8}{90} = \frac{4}{45}$. Деление 4 на 45 столбиком также дает $0,0888...=0,0(8)$.
Ответ: $0,0(8)$

ж) Представим дробь $\frac{23}{990}$ в виде произведения: $\frac{23}{990} = \frac{1}{10} \cdot \frac{23}{99}$. Мы знаем, что $\frac{23}{99} = 0,(23)$. Умножая на $\frac{1}{10}$, сдвигаем десятичную запятую на один знак влево: $0,2323... \div 10 = 0,02323...$. Получаем смешанную периодическую дробь, где предпериод равен 0, а период равен 23. Таким образом, $\frac{23}{990} = 0,0(23)$.
Ответ: $0,0(23)$

з) Для дроби $\frac{125}{999}$ знаменатель уже является числом, состоящим из девяток. Дробь со знаменателем 999 и трехзначным числителем $abc$ записывается в виде чистой периодической дроби $0,(abc)$. Следовательно, $\frac{125}{999} = 0,(125)$.
Ответ: $0,(125)$

250. Запишите в виде степени с основанием 5:

$\frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4$

а) $\frac{5^5}{5^2} = \dots$

б) $\frac{5^3}{5^2} = \dots$

в) $\frac{5^2}{5^3} = \dots$

г) $\frac{5^2}{5^4} = \dots$

д) $\frac{5^2}{5^5} = \dots$

Для решения всех пунктов задачи используется свойство деления степеней с одинаковым основанием. Оно формулируется так: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, а основание остается прежним. Математически это записывается формулой: $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $.

Дано выражение $ \frac{5^5}{5^2} $. Применим указанное выше свойство. Здесь основание $ a=5 $, показатель степени в числителе $ m=5 $, а в знаменателе $ n=2 $.

Выполняем вычитание показателей: $ 5-2=3 $.

Таким образом, $ \frac{5^5}{5^2} = 5^{5-2} = 5^3 $.

Ответ: $ 5^3 $

Дано выражение $ \frac{5^3}{5^2} $. Основание $ a=5 $, показатель числителя $ m=3 $, показатель знаменателя $ n=2 $.

Вычитаем показатели: $ 3-2=1 $.

Следовательно, $ \frac{5^3}{5^2} = 5^{3-2} = 5^1 $.

Ответ: $ 5^1 $

Дано выражение $ \frac{5^2}{5^3} $. В этом случае основание $ a=5 $, показатель числителя $ m=2 $, а показатель знаменателя $ n=3 $.

Вычитаем показатели: $ 2-3=-1 $. Показатель степени становится отрицательным, так как показатель в знаменателе больше, чем в числителе.

Получаем: $ \frac{5^2}{5^3} = 5^{2-3} = 5^{-1} $.

Ответ: $ 5^{-1} $

Дано выражение $ \frac{5^2}{5^4} $. Основание $ a=5 $, показатель числителя $ m=2 $, показатель знаменателя $ n=4 $.

Вычисляем разность показателей: $ 2-4=-2 $.

В результате получаем: $ \frac{5^2}{5^4} = 5^{2-4} = 5^{-2} $.

Ответ: $ 5^{-2} $

Дано выражение $ \frac{5^2}{5^5} $. Основание $ a=5 $, показатель числителя $ m=2 $, показатель знаменателя $ n=5 $.

Находим разность показателей: $ 2-5=-3 $.

Таким образом, итоговое выражение в виде степени: $ \frac{5^2}{5^5} = 5^{2-5} = 5^{-3} $.

Ответ: $ 5^{-3} $

251. Запишите в виде степени с целым показателем:

$ \frac{1}{5^2} = 5^{-2} $

а) $ \frac{1}{2^5} = \dots \dots \dots \dots $

б) $ \frac{1}{3^4} = \dots \dots \dots \dots $

в) $ \frac{1}{4^3} = \dots \dots \dots \dots $

г) $ \frac{1}{2^4} = \dots \dots \dots \dots $

д) $ \frac{1}{4^2} = \dots \dots \dots \dots $

Чтобы записать дробь в виде степени с целым показателем, используется свойство степени с отрицательным показателем: $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $, где $ a \neq 0 $ и $ n $ — целое число. Это правило гласит, что единица, деленная на число в степени $ n $, равна этому числу в степени $ -n $. В задании дан пример: $ \frac{1}{5^2} = 5^{-2} $. Мы применим это правило для решения всех подпунктов.

а) Дана дробь $ \frac{1}{2^5} $. Здесь основание степени $ a = 2 $, а показатель $ n = 5 $. Применяя указанное выше правило, получаем: $ \frac{1}{2^5} = 2^{-5} $.
Ответ: $ 2^{-5} $

б) Дана дробь $ \frac{1}{3^4} $. В этом случае основание $ a = 3 $, а показатель $ n = 4 $. По свойству степени с отрицательным показателем: $ \frac{1}{3^4} = 3^{-4} $.
Ответ: $ 3^{-4} $

в) Дана дробь $ \frac{1}{4^3} $. Здесь основание $ a = 4 $ и показатель $ n = 3 $. Применяя правило, получаем: $ \frac{1}{4^3} = 4^{-3} $.
Ответ: $ 4^{-3} $

г) Дана дробь $ \frac{1}{2^4} $. Основание степени $ a = 2 $, показатель $ n = 4 $. Используем то же самое правило: $ \frac{1}{2^4} = 2^{-4} $.
Ответ: $ 2^{-4} $

д) Дана дробь $ \frac{1}{4^2} $. Основание $ a = 4 $, показатель $ n = 2 $. Преобразуем дробь в степень с целым показателем: $ \frac{1}{4^2} = 4^{-2} $.
Ответ: $ 4^{-2} $

252. Запишите в виде дроби:

$7^{-2} = \frac{1}{7^2}$

а) $6^{-3} = \dots \dots \dots$

б) $5^{-4} = \dots \dots \dots$

в) $4^{-5} = \dots \dots \dots$

г) $3^{-6} = \dots \dots \dots$

д) $2^{-7} = \dots \dots \dots$

Для решения этих примеров используется свойство степени с отрицательным показателем, которое показано в образце: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Это означает, что число, возведенное в отрицательную степень, равно дроби, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе — то же число, но в положительной степени.

а) Используя правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, преобразуем выражение $6^{-3}$:

$6^{-3} = \frac{1}{6^3}$

Теперь вычислим знаменатель: $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.

Таким образом, $6^{-3} = \frac{1}{216}$.

Ответ: $\frac{1}{216}$

б) Аналогично для выражения $5^{-4}$ применим то же правило:

$5^{-4} = \frac{1}{5^4}$

Вычисляем значение в знаменателе: $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.

Следовательно, $5^{-4} = \frac{1}{625}$.

Ответ: $\frac{1}{625}$

в) Для выражения $4^{-5}$ поступаем так же:

$4^{-5} = \frac{1}{4^5}$

Вычисляем знаменатель: $4^5 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 1024$.

В результате получаем: $4^{-5} = \frac{1}{1024}$.

Ответ: $\frac{1}{1024}$

г) Преобразуем выражение $3^{-6}$ в дробь, используя свойство отрицательной степени:

$3^{-6} = \frac{1}{3^6}$

Вычисляем знаменатель: $3^6 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 729$.

Значит, $3^{-6} = \frac{1}{729}$.

Ответ: $\frac{1}{729}$

д) Для выражения $2^{-7}$ применяем то же свойство:

$2^{-7} = \frac{1}{2^7}$

Вычисляем знаменатель: $2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128$.

Итоговый результат: $2^{-7} = \frac{1}{128}$.

Ответ: $\frac{1}{128}$