Страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

46*. Докажите равенство:

$0,(9) = 1,$

$x = 0,(9),$

$x = 0,999\dots,$

$10x = 9,999\dots,$

$10x - x = 9,$

$9x = 9,$

$x = 1$

a) $2,(9) = 3;$

...

...

...

...

...

б) $3,1(9) = 3,2.$

...

...

...

...

...

а)

Для доказательства равенства $2,(9) = 3$ воспользуемся методом, показанным в примере.

Пусть $x = 2,(9)$. Это периодическая дробь, которую можно записать как $x = 2,999...$

Умножим обе части этого уравнения на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо.

$10x = 29,999...$

Теперь вычтем из полученного уравнения исходное:

$10x - x = 29,999... - 2,999...$

В левой части получим $9x$. В правой части бесконечные дробные части взаимно уничтожаются: $29 - 2 = 27$.

$9x = 27$

Найдем $x$, разделив обе части на 9:

$x = \frac{27}{9} = 3$

Так как мы изначально приняли $x = 2,(9)$, то мы доказали, что $2,(9) = 3$.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства равенства $3,1(9) = 3,2$ применим тот же алгебраический подход.

Пусть $x = 3,1(9)$. Это смешанная периодическая дробь, которую можно записать как $x = 3,1999...$

Сначала умножим уравнение на 10, чтобы "освободить" периодическую часть.

$10x = 31,999...$

Теперь умножим уравнение $10x = 31,999...$ еще на 10, чтобы сдвинуть запятую за первый повторяющийся знак.

$100x = 319,999...$

Вычтем из последнего уравнения предыдущее:

$100x - 10x = 319,999... - 31,999...$

В левой части получим $90x$. В правой части дробные части сократятся: $319 - 31 = 288$.

$90x = 288$

Найдем $x$:

$x = \frac{288}{90}$

Переведем полученную обыкновенную дробь в десятичную:

$x = 288 \div 90 = 3,2$

Таким образом, мы доказали, что $3,1(9) = 3,2$.

Ответ: Равенство доказано.

47. Докажите равенство:

а) $0.0\overline{10} = 0.\overline{01}$;

б) $0.5\overline{45} = 0.\overline{54}$;

в) $0.\overline{77} = 0.\overline{7}$.

а) Для доказательства равенства $0,0(10) = 0,(01)$ преобразуем обе периодические дроби в обыкновенные.

Левая часть $0,0(10)$ является смешанной периодической дробью. Чтобы обратить её в обыкновенную дробь, нужно из числа, стоящего после запятой, включая один период (010), вычесть число, стоящее после запятой до периода (0). Результат будет числителем. В знаменателе нужно написать столько девяток, сколько цифр в периоде (две), и приписать столько нулей, сколько цифр после запятой до периода (одна).
$0,0(10) = \frac{10 - 0}{990} = \frac{10}{990} = \frac{1}{99}$.

Правая часть $0,(01)$ является чистой периодической дробью. Чтобы обратить её в обыкновенную дробь, нужно в числитель записать период (01), а в знаменатель — число, состоящее из такого же количества девяток, сколько цифр в периоде (две).
$0,(01) = \frac{1}{99}$.

Так как обе части равенства равны $\frac{1}{99}$, равенство доказано.
Ответ: Равенство $0,0(10) = 0,(01)$ доказано.

б) Для доказательства равенства $0,5(45) = 0,(54)$ преобразуем обе части в обыкновенные дроби.

Левая часть $0,5(45)$ является смешанной периодической дробью. Применим то же правило, что и в пункте а). В числитель запишем разность $545 - 5$, а в знаменатель — две девятки и один ноль.
$0,5(45) = \frac{545 - 5}{990} = \frac{540}{990} = \frac{54}{99}$.

Правая часть $0,(54)$ является чистой периодической дробью. В числитель запишем период (54), а в знаменатель — две девятки.
$0,(54) = \frac{54}{99}$.

Так как обе части равенства равны $\frac{54}{99}$, равенство доказано. Также можно было заметить, что десятичное разложение обеих дробей идентично: $0.545454...$
Ответ: Равенство $0,5(45) = 0,(54)$ доказано.

в) Для доказательства равенства $0,(77) = 0,(7)$ преобразуем обе части в обыкновенные дроби.

Левая часть $0,(77)$ является чистой периодической дробью с периодом "77".
$0,(77) = \frac{77}{99} = \frac{7 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{7}{9}$.

Правая часть $0,(7)$ является чистой периодической дробью с периодом "7".
$0,(7) = \frac{7}{9}$.

Так как обе части равенства равны $\frac{7}{9}$, равенство доказано. Также можно заметить, что $0,(77) = 0.7777...$ и $0,(7) = 0.7777...$, то есть их десятичные разложения совпадают.
Ответ: Равенство $0,(77) = 0,(7)$ доказано.

48*. Какая цифра стоит на сотом месте после запятой в десятичном разложении дроби $3/7$?

Для того чтобы найти, какая цифра стоит на сотом месте после запятой в десятичном разложении дроби $\frac{3}{7}$, необходимо сначала преобразовать эту дробь в десятичную. Это можно сделать путем деления числителя на знаменатель (3 на 7) столбиком.

Выполним деление:
$3 \div 7 = 0,428571428571...$

В результате деления мы получаем бесконечную периодическую десятичную дробь. Последовательность цифр после запятой повторяется. Найдем период этой дроби (повторяющуюся группу цифр).

$30 \div 7 = 4$ (остаток 2)
$20 \div 7 = 2$ (остаток 6)
$60 \div 7 = 8$ (остаток 4)
$40 \div 7 = 5$ (остаток 5)
$50 \div 7 = 7$ (остаток 1)
$10 \div 7 = 1$ (остаток 3)
$30 \div 7 = 4$ (остаток 2) - остаток 3 повторился, значит, начался новый цикл.

Таким образом, десятичное разложение дроби $\frac{3}{7}$ имеет вид $0,(428571)$. Повторяющаяся группа цифр (период) — это $428571$. Длина этого периода составляет 6 цифр.

Нам нужно найти цифру, которая стоит на 100-м месте после запятой. Поскольку последовательность цифр периодически повторяется с периодом 6, для нахождения 100-й цифры нужно определить, какой по счету в периоде она будет. Для этого разделим 100 на длину периода 6 с остатком.

$100 \div 6 = 16$ (остаток 4)

Это означает, что полный период $428571$ повторится 16 раз, и после этого нужно будет отсчитать еще 4 цифры из этого периода. Остаток от деления (4) указывает на порядковый номер искомой цифры в периоде.

Найдем 4-ю цифру в периоде $428571$:
1-я цифра — 4
2-я цифра — 2
3-я цифра — 8
4-я цифра — 5

Следовательно, на сотом месте после запятой в десятичном разложении дроби $\frac{3}{7}$ стоит цифра 5.

Ответ: 5

260. Используя стандартный вид числа, запишите (в метрах) величины, встречающиеся в тексте.

а) Эверест (Джомолунгма) является самой высокой горной вершиной Гималаев и всей нашей планеты. Эта горная вершина находится на границе Непала и Китая, она имеет два пика: северный (8848 м) и южный (8760 м).

$8848 \text{ м} = 8,848 \cdot 10^3 \text{ м}$

$8760 \text{ м} = \ldots$

б) Гора Чогори является второй по высоте горой в мире, её высота составляет 8611 м. Эта гора расположена на границе КНР и Пакистана.

$8614 \text{ м} = \ldots$

в) Эльбрус — самая высокая горная вершина в России, расположена на Кавказе. Высота Эльбруса составляет 5642 м.

$5642 \text{ м} = \ldots$

а)

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.
Для записи в стандартном виде высоты южного пика Эвереста (8760 м), необходимо представить это число как произведение числа от 1 (включительно) до 10 (не включительно) на степень десяти.
Для этого поставим запятую после первой значащей цифры (8), получив $8,760$. Чтобы это число стало равным исходному 8760, его нужно умножить на $1000$ или $10^3$, так как мы сдвинули запятую на 3 разряда влево.
Таким образом, получаем: $8760 = 8,760 \cdot 10^3$.
Ответ: $8760 \text{ м} = 8,760 \cdot 10^3 \text{ м}$.

б)

Запишем в стандартном виде высоту горы Чогори — 8614 м (согласно строке для решения).
Чтобы получить коэффициент $a$, перемещаем запятую так, чтобы перед ней осталась одна ненулевая цифра: $8,614$.
Поскольку запятая была сдвинута на 3 знака влево (из $8614,0$), то показатель степени $n$ равен 3.
Следовательно, $8614 = 8,614 \cdot 10^3$.
Ответ: $8614 \text{ м} = 8,614 \cdot 10^3 \text{ м}$.

в)

Запишем в стандартном виде высоту горы Эльбрус — 5642 м.
Поставим запятую после первой цифры (5), чтобы получить число в диапазоне $1 \le a < 10$. Получим $5,642$.
Чтобы компенсировать сдвиг запятой на 3 знака влево, необходимо умножить полученное число на $10^3$.
Значит, $5642 = 5,642 \cdot 10^3$.
Ответ: $5642 \text{ м} = 5,642 \cdot 10^3 \text{ м}$.

261. В таблице приведены расстояния от Солнца до четырёх планет Солнечной системы, записанные с использованием стандартного вида числа. Запишите те же величины в километрах без использования стандартного вида числа.

Планета Расстояние, км Расстояние, км

Меркурий $5{,}791 \cdot 10^7$ 57 910 000

Юпитер $7{,}785 \cdot 10^8$ ...

Сатурн $1{,}429 \cdot 10^9$ ...

Нептун $4{,}498 \cdot 10^9$ ...

Чтобы записать числа, представленные в стандартном виде $a \cdot 10^n$, в виде обычного числа, необходимо умножить мантиссу $a$ на $10^n$. Практически это означает сдвиг десятичной запятой вправо на $n$ позиций. Если цифр в дробной части мантиссы меньше, чем $n$, то справа дописывается необходимое количество нулей.

Юпитер

Расстояние до Юпитера в стандартном виде равно $7,785 \cdot 10^8$ км. Для преобразования этого числа в обычный вид, необходимо переместить запятую на 8 знаков вправо. Так как в числе 7,785 три знака после запятой, то после числа 7785 нужно дописать $8 - 3 = 5$ нулей.

$7,785 \cdot 10^8 = 778\,500\,000$.

Ответ: 778 500 000

Сатурн

Расстояние до Сатурна в стандартном виде равно $1,429 \cdot 10^9$ км. Чтобы записать это число без использования степени, переместим запятую на 9 знаков вправо. В числе 1,429 три знака после запятой, поэтому после числа 1429 необходимо дописать $9 - 3 = 6$ нулей.

$1,429 \cdot 10^9 = 1\,429\,000\,000$.

Ответ: 1 429 000 000

Нептун

Расстояние до Нептуна в стандартном виде равно $4,498 \cdot 10^9$ км. Чтобы записать это число без использования степени, переместим запятую на 9 знаков вправо. В числе 4,498 три знака после запятой, поэтому после числа 4498 необходимо дописать $9 - 3 = 6$ нулей.

$4,498 \cdot 10^9 = 4\,498\,000\,000$.

Ответ: 4 498 000 000

262. Используя стандартный вид числа, запишите (в километрах) величины, встречающиеся в тексте.

Расстояние от Земли до Солнца колеблется из-за того, что земная орбита имеет форму эллипса. Наибольшее расстояние равно 152 млн км (июль), а наименьшее — 147 млн км (январь).

152 млн км = 152 000 000 км = . . . . . . . . . . . .

147 млн км = . . . . . . . . . . . .

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа. Чтобы записать большое число в стандартном виде, нужно представить его в виде произведения числа от 1 (включительно) до 10 (не включительно) на соответствующую степень десяти.

152 млн км = 152 000 000 км =

1. Исходное число — 152 000 000.

2. Чтобы получить коэффициент $a$, который должен быть в диапазоне $[1; 10)$, мысленно поставим запятую после первой значащей цифры (1). Получим число 1,52.

3. Определим порядок числа $n$. Для этого посчитаем, на сколько знаков мы сдвинули запятую влево. Изначально запятая находится в конце числа (152 000 000,). Чтобы получить 1,52, мы сдвинули запятую на 8 знаков влево. Значит, $n=8$.

4. Таким образом, число 152 000 000 км в стандартном виде записывается как $1,52 \cdot 10^8$ км.

Ответ: $1,52 \cdot 10^8 \ \text{км}$.

147 млн км =

1. Сначала запишем "147 млн км" в виде полного числа. Один миллион — это 1 000 000. Следовательно, 147 миллионов километров — это $147 \times 1 \ 000 \ 000 = 147 \ 000 \ 000 \ \text{км}$.

2. Теперь представим число 147 000 000 в стандартном виде. Поставим запятую после первой значащей цифры (1), чтобы получить коэффициент $a$. Получаем 1,47.

3. Посчитаем, на сколько знаков мы сдвинули запятую влево. Как и в предыдущем случае, сдвиг составил 8 знаков. Значит, порядок числа $n=8$.

4. Таким образом, стандартный вид числа 147 000 000 км — это $1,47 \cdot 10^8$ км.

Ответ: $147 \ 000 \ 000 \ \text{км} = 1,47 \cdot 10^8 \ \text{км}$.