Страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

54*. Докажите, что бесконечную непериодическую десятичную дробь нельзя записать в виде дроби $\frac{p}{q}$.

Данное утверждение доказывается методом от противного. Для этого докажем обратное (контрапозитивное) утверждение: любую обыкновенную дробь $p/q$ (где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное) можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Если это утверждение верно, то и исходное утверждение будет верным.

Для того чтобы перевести обыкновенную дробь $p/q$ в десятичную, необходимо разделить числитель $p$ на знаменатель $q$ в столбик.

В процессе деления на каждом шаге мы получаем остаток. Этот остаток должен быть меньше делителя $q$. Таким образом, возможными остатками при делении на $q$ являются целые числа: $0, 1, 2, ..., q-1$. Всего существует $q$ различных возможных остатков.

Далее возможны два сценария:

1. На каком-то шаге деления остаток становится равным 0. В этом случае процесс деления завершается. Результатом является конечная десятичная дробь. Например, при переводе дроби $3/8$ в десятичную ($3 \div 8$), мы получаем $0.375$ и остаток $0$, на этом деление заканчивается.

2. Остаток никогда не становится равным 0. В этом случае процесс деления продолжается бесконечно. Однако, поскольку количество возможных ненулевых остатков ограничено (их $q-1$, а именно $1, 2, ..., q-1$), то по принципу Дирихле, не позднее чем на $q$-м шаге деления (после запятой), один из остатков обязательно повторится. Как только какой-либо остаток повторяется, то и последующие за ним цифры в частном начнут повторяться в той же последовательности, образуя период. Например, при делении $1$ на $3$ ($1/3$) остаток $1$ повторяется на каждом шаге, что дает бесконечную дробь $0.333...$ или $0.(3)$. При делении $4$ на $11$ ($4/11$) остатки будут $7, 4, 7, 4, ...$, что приводит к дроби $0.3636...$ или $0.(36)$.

Таким образом, мы показали, что любая дробь вида $p/q$ всегда обращается либо в конечную, либо в бесконечную периодическую десятичную дробь.

Поскольку мы доказали контрапозитивное утверждение, то и исходное утверждение верно. Если десятичная дробь является бесконечной и непериодической, она не может быть результатом деления $p$ на $q$ и, следовательно, не может быть записана в виде дроби $p/q$.

Ответ: Доказательство основано на анализе процесса деления в столбик числителя $p$ на знаменатель $q$. Количество возможных остатков при делении на $q$ конечно и равно $q$. Если в процессе деления появляется остаток 0, дробь является конечной. Если остаток 0 никогда не появляется, то, по принципу Дирихле, один из ненулевых остатков ($1, 2, ..., q-1$) неизбежно повторится. Повторение остатка приводит к повторению последовательности цифр в частном, то есть к образованию периода. Следовательно, любая дробь вида $p/q$ представляется в виде конечной или периодической десятичной дроби, а значит, бесконечную непериодическую десятичную дробь в таком виде представить нельзя.

55. Запишите два противоположных иррациональных числа:

Чтобы выполнить это задание, необходимо понимать, что такое противоположные числа и иррациональные числа.

Противоположные числа — это два числа, сумма которых равна нулю. Для любого числа $a$ противоположным ему является число $-a$. Например, 7 и -7 — противоположные числа, так как $7 + (-7) = 0$.

Иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Десятичное представление иррациональных чисел является бесконечным и непериодическим. К ним относятся, например, корень из любого натурального числа, не являющегося полным квадратом ($\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ и т.д.), а также число $\pi$ (пи).

Следовательно, для нахождения двух противоположных иррациональных чисел нужно выбрать любое иррациональное число и взять его со знаком "минус". Если число $x$ является иррациональным, то и число $-x$ также будет иррациональным.

Примеры таких пар:

• Берем иррациональное число $\sqrt{2}$. Противоположное ему число — $-\sqrt{2}$. Оба числа иррациональны.
• Берем иррациональное число $\pi$. Противоположное ему число — $-\pi$. Оба числа иррациональны.
• Берем иррациональное число $\sqrt{10}$. Противоположное ему число — $-\sqrt{10}$. Оба числа иррациональны.

Для ответа можно записать любую из этих пар.

Ответ: $\sqrt{5}$ и $-\sqrt{5}$.

56*. Какая цифра стоит на сто первом месте после запятой в десятичной записи иррационального числа при сохранении правила его записи?

а) 0,101101110111011...

б) 0,1011001110001110...

a) Проанализируем правило записи данного иррационального числа: $0,10110111011110...$
Последовательность цифр после запятой можно разбить на блоки. Блоки состоят из группы единиц, за которой следует один ноль. Количество единиц в каждом следующем блоке увеличивается на одну.

• 1-й блок: $10$ (одна единица и один ноль), длина 2.
• 2-й блок: $110$ (две единицы и один ноль), длина 3.
• 3-й блок: $1110$ (три единицы и один ноль), длина 4.
• k-й блок: состоит из $k$ единиц и одного нуля, его длина равна $k+1$.

Чтобы найти цифру на 101-м месте, нам нужно определить, в каком блоке находится эта цифра. Для этого найдем общую длину первых $n$ блоков. Длина $L_n$ равна сумме длин первых $n$ блоков:
$L_n = \sum_{k=1}^{n} (k+1) = (\sum_{k=1}^{n} k) + (\sum_{k=1}^{n} 1) = \frac{n(n+1)}{2} + n$.
Нам нужно найти такое $n$, что $L_n < 101 \le L_{n+1}$.
Подберем значение $n$. Предположим, $n=12$. $L_{12} = \frac{12(12+1)}{2} + 12 = \frac{12 \cdot 13}{2} + 12 = 6 \cdot 13 + 12 = 78 + 12 = 90$.
Теперь вычислим для $n=13$:
$L_{13} = \frac{13(13+1)}{2} + 13 = \frac{13 \cdot 14}{2} + 13 = 13 \cdot 7 + 13 = 91 + 13 = 104$.
Так как $90 < 101 \le 104$, 101-я цифра находится в 13-м блоке.
Первые 12 блоков содержат 90 цифр. Значит, нам нужна $(101 - 90) = 11$-я цифра 13-го блока.
13-й блок по правилу состоит из 13 единиц, за которыми следует один ноль: $11111111111110$.
Первые 13 цифр этого блока — единицы. Так как нам нужна 11-я цифра блока, это будет 1.
Ответ: 1

б) Проанализируем правило записи данного иррационального числа: $0,10110011100011110...$
Последовательность цифр после запятой можно разбить на блоки. Каждый блок состоит из группы единиц, за которой следует группа нулей. Количество единиц и нулей в каждом следующем блоке увеличивается на одно.

• 1-й блок: $10$ (одна единица и один ноль), длина 2.
• 2-й блок: $1100$ (две единицы и два нуля), длина 4.
• 3-й блок: $111000$ (три единицы и три нуля), длина 6.
• k-й блок: состоит из $k$ единиц и $k$ нулей, его длина равна $2k$.

Чтобы найти цифру на 101-м месте, определим, в каком блоке она находится. Найдем общую длину первых $n$ блоков. Длина $L_n$ равна сумме длин первых $n$ блоков:
$L_n = \sum_{k=1}^{n} 2k = 2 \sum_{k=1}^{n} k = 2 \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.
Нам нужно найти такое $n$, что $L_n < 101 \le L_{n+1}$.
Подберем значение $n$. Предположим, $n=9$. $L_9 = 9(9+1) = 9 \cdot 10 = 90$.
Теперь вычислим для $n=10$:
$L_{10} = 10(10+1) = 10 \cdot 11 = 110$.
Так как $90 < 101 \le 110$, 101-я цифра находится в 10-м блоке.
Первые 9 блоков содержат 90 цифр. Значит, нам нужна $(101 - 90) = 11$-я цифра 10-го блока.
10-й блок по правилу состоит из 10 единиц, за которыми следуют 10 нулей: $11111111110000000000$.
Первые 10 цифр этого блока — единицы. Следующие 10 цифр (с 11-й по 20-ю) — нули.
Так как нам нужна 11-я цифра блока, это будет 0.
Ответ: 0

57. На рисунке 3 с помощью кругов изображены числовые множества. Напишите недостающие названия множеств чисел.

а) Целые

неотриц.

Целые

отриц.

...... ......

б) Целые

......

Рациональные

Рис. 3

в) Рациональные

Иррациональные

...... ......

а)

На диаграмме показано объединение двух непересекающихся множеств: целых неотрицательных чисел (внутренний круг), к которым относятся натуральные числа и ноль ($0, 1, 2, 3, \ldots$), и целых отрицательных чисел (внешнее кольцо), к которым относятся ($-1, -2, -3, \ldots$). Вместе эти два множества образуют множество всех целых чисел, которое обозначается символом $\mathbb{Z}$.

Ответ: Целые числа.

б)

На этой диаграмме большой круг представляет множество рациональных чисел ($\mathbb{Q}$). Рациональные числа — это все числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Внутренний круг представляет подмножество целых чисел ($\mathbb{Z}$). Внешнее кольцо представляет все рациональные числа, которые не являются целыми. Такие числа называются дробными.

Ответ: Дробные числа.

в)

На данной диаграмме показано, что некое большое множество чисел состоит из двух непересекающихся подмножеств: рациональных чисел (внутренний круг) и иррациональных чисел (внешнее кольцо). Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби (например, $\sqrt{2}$, $\pi$). Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных (или вещественных) чисел, которое обозначается символом $\mathbb{R}$.

Ответ: Действительные числа.

268. Решите уравнение первой степени:

$3x - 12 = 0;$

a) $5x + 20 = 0;$

б) $-2x + 5 = 0.$

$3x = 12;$

$x = 12 : 3;$

$x = 4$

а) $5x + 20 = 0$

Для решения этого линейного уравнения необходимо выразить переменную $x$. Сначала перенесем свободный член (число 20) из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$5x = -20$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 5:

$x = \frac{-20}{5}$

$x = -4$

Проверка:

$5 \cdot (-4) + 20 = -20 + 20 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: -4

б) $-2x + 5 = 0$

Для начала перенесем число 5 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком:

$-2x = -5$

Далее, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, который равен -2:

$x = \frac{-5}{-2}$

При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число:

$x = 2.5$

Проверка:

$-2 \cdot (2.5) + 5 = -5 + 5 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: 2.5