Страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

78. Длина и ширина прямоугольника равны 3,247 м и 2,561 м. Вычислите приближённо:

а) периметр прямоугольника с точностью до 0,01 м;

...

б) площадь прямоугольника с точностью до второй значащей цифры.

а) Для вычисления периметра прямоугольника используется формула $P = 2(a+b)$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.
Дано: $a = 3,247$ м и $b = 2,561$ м.
1. Сначала найдем сумму длины и ширины:
$a + b = 3,247 + 2,561 = 5,808$ м.
2. Теперь умножим эту сумму на 2, чтобы найти периметр:
$P = 2 \times 5,808 = 11,616$ м.
3. Требуется округлить результат с точностью до 0,01 м, то есть до сотых долей (до двух знаков после запятой). Для этого смотрим на третью цифру после запятой. В числе $11,616$ это цифра 6.
Так как $6 \ge 5$, округляем предыдущую цифру (1) в большую сторону.
$P \approx 11,62$ м.
Ответ: $11,62$ м.

б) Для вычисления площади прямоугольника используется формула $S = a \times b$.
1. Вычислим точное значение площади:
$S = 3,247 \times 2,561 = 8,315567$ м².
2. Требуется округлить результат до второй значащей цифры. Значащими цифрами в числе являются все цифры, начиная с первой ненулевой слева.
В нашем результате $8,315567$ первая значащая цифра — 8, вторая — 3.
Чтобы округлить до второй значащей цифры, мы должны оставить первые две (8 и 3), а остальные отбросить. При этом нужно посмотреть на третью значащую цифру (в данном случае это 1).
Так как $1 < 5$, то вторую значащую цифру (3) мы не изменяем.
$S \approx 8,3$ м².
Ответ: $8,3$ м².

79. Точные вычисления показывают, что если сторона квадрата ABCD равна 1, то его диагональ AC имеет длину 1,4142145... .

Вычислите длину половины диагонали AC с точностью:

до двух значащих цифр: $\frac{AC}{2} \approx \frac{1,4}{2} = 0,70$

а) до трёх значащих цифр;

б) до четырёх значащих цифр.

а) $\frac{AC}{2} \approx$ ..................

б) $\frac{AC}{2} \approx$ ..................

Для решения задачи необходимо вычислить длину половины диагонали $AC$, округляя результат до указанного количества значащих цифр. Мы будем следовать методу, показанному в примере: сначала округляем исходное число ($AC$) до требуемого количества значащих цифр, а затем производим вычисление.

Дано значение длины диагонали: $AC = 1,4142145...$

1. Округляем длину диагонали $AC$ до трёх значащих цифр. Первые три значащие цифры — это 1, 4 и 1. Следующая цифра — 4, поэтому округляем без увеличения.

$AC \approx 1,41$

2. Теперь делим полученное значение на 2:

$\frac{AC}{2} \approx \frac{1,41}{2} = 0,705$

Результат $0,705$ содержит ровно три значащие цифры (7, 0, 5), что соответствует условию.

Ответ: $0,705$.

1. Округляем длину диагонали $AC$ до четырёх значащих цифр. Первые четыре значащие цифры — это 1, 4, 1 и 4. Следующая цифра — 2, поэтому округляем без увеличения.

$AC \approx 1,414$

2. Делим полученное значение на 2:

$\frac{AC}{2} \approx \frac{1,414}{2} = 0,707$

3. Согласно правилам, при делении приближенного числа ($1,414$, имеющего 4 значащие цифры) на точное число (2), результат должен иметь столько же значащих цифр, сколько и у приближенного числа. Чтобы показать, что результат имеет точность до четырёх значащих цифр, мы должны добавить ноль в конце.

Ответ: $0,7070$.

80. Радиус окружности приближённо равен 0,345. Зная, что $\pi = 3,1415926...$, вычислите длину окружности с точностью:

а) до одной значащей цифры;

$C \approx \dots$

б) до двух значащих цифр.

$C \approx \dots$

Для нахождения длины окружности $C$ используется формула $C = 2\pi r$, где $r$ — это радиус окружности.

По условию задачи, радиус $r \approx 0,345$, а число $\pi \approx 3,1415926...$

Сначала вычислим значение длины окружности с большей точностью, чтобы затем округлить его:

$C = 2 \times \pi \times r \approx 2 \times 3,1415926 \times 0,345$

$C \approx 6,2831852 \times 0,345$

$C \approx 2,1676989...$

Теперь округлим полученный результат в соответствии с требованиями задачи.

а) до одной значащей цифры

Значащие цифры числа — это все цифры, начиная с первой ненулевой слева. В числе $2,1676989...$ первая значащая цифра — это 2. Чтобы округлить число до одной значащей цифры, нужно посмотреть на следующую за ней цифру. Это цифра 1. Поскольку $1 < 5$, мы оставляем первую значащую цифру без изменений, а все последующие цифры в дробной части отбрасываем.

$C \approx 2$

Ответ: $C \approx 2$

б) до двух значащих цифр

В числе $2,1676989...$ первые две значащие цифры — это 2 и 1. Чтобы округлить число до двух значащих цифр, смотрим на третью значащую цифру. Это цифра 6. Поскольку $6 \ge 5$, мы должны увеличить вторую значащую цифру (1) на единицу, а все последующие цифры отбросить.

$C \approx 2,2$

Ответ: $C \approx 2,2$

285. Во дворе гуляли котята и гусята. Всего у них 13 голов и 40 ног. Сколько было котят?

Пусть было $x$ котят. Тогда гусят было . . . . . . . ., а ног у них у всех было . . . . . . . . . . ., что по условию равно 40.

Составим и решим уравнение: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Пусть было $x$ котят. Тогда гусят было $13 - x$, а ног у них у всех было $4x + 2(13 - x)$, что по условию равно 40.

Составим и решим уравнение:
$4x + 2(13 - x) = 40$
$4x + 26 - 2x = 40$
$2x + 26 = 40$
$2x = 40 - 26$
$2x = 14$
$x = 14 : 2$
$x = 7$

Во дворе было 7 котят. Проверим: гусят было $13 - 7 = 6$. Общее количество ног: $7 \cdot 4 + 6 \cdot 2 = 28 + 12 = 40$. Условие выполнено.
Ответ: было 7 котят.

286. Составьте уравнение первой степени с неизвестными $x$ и $y$ по данным $a, b$ и $c: $

а) $a = 2, b = 5, c = -7$;

б) $a = 5, b = -1, c = -3$;

в) $a = 0, b = 3, c = -12$;

г) $a = 1, b = 0, c = 7$.

Общий вид уравнения первой степени с двумя неизвестными $x$ и $y$ имеет форму $ax + by + c = 0$. Для решения задачи необходимо подставить заданные значения коэффициентов $a$, $b$ и $c$ в это общее уравнение.

а) Дано: $a = 2$, $b = 5$, $c = -7$.

Подставляем значения в общую формулу:

$2 \cdot x + 5 \cdot y + (-7) = 0$

Упрощаем выражение:

$2x + 5y - 7 = 0$

Ответ: $2x + 5y - 7 = 0$

б) Дано: $a = 5$, $b = -1$, $c = -3$.

Подставляем значения в общую формулу:

$5 \cdot x + (-1) \cdot y + (-3) = 0$

Упрощаем выражение:

$5x - y - 3 = 0$

Ответ: $5x - y - 3 = 0$

в) Дано: $a = 0$, $b = 3$, $c = -12$.

Подставляем значения в общую формулу:

$0 \cdot x + 3 \cdot y + (-12) = 0$

Упрощаем выражение, учитывая, что член с $x$ равен нулю:

$3y - 12 = 0$

Ответ: $3y - 12 = 0$

г) Дано: $a = 1$, $b = 0$, $c = 7$.

Подставляем значения в общую формулу:

$1 \cdot x + 0 \cdot y + 7 = 0$

Упрощаем выражение, учитывая, что член с $y$ равен нулю, а коэффициент 1 перед $x$ обычно не пишется:

$x + 7 = 0$

Ответ: $x + 7 = 0$