Страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

17. Выпишите все делители числа:

а) 45 — 1, 3, 5, ........................

б) 36 — 1, 2, 3, 4, ........................

в) 47 — ......................

г) 59 — ......................

д) 88 — 1, 2, 4, ........................

е) 96 — 1, 2, 3, 4, ........................

а) 45
Чтобы найти все делители числа, нужно найти все целые числа, на которые оно делится без остатка. Удобно искать делители парами. Если мы находим делитель $d$, то число $45/d$ также будет делителем. Другой способ — разложить число на простые множители.
Разложим 45 на простые множители: $45 = 3 \times 15 = 3 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5^1$.
Все делители числа 45 являются произведениями этих множителей в различных комбинациях. Делитель будет иметь вид $3^a \times 5^b$, где $a$ может принимать значения 0, 1, 2, а $b$ — 0, 1.
Перечислим все возможные комбинации:

• $3^0 \times 5^0 = 1 \times 1 = 1$
• $3^1 \times 5^0 = 3 \times 1 = 3$
• $3^2 \times 5^0 = 9 \times 1 = 9$
• $3^0 \times 5^1 = 1 \times 5 = 5$
• $3^1 \times 5^1 = 3 \times 5 = 15$
• $3^2 \times 5^1 = 9 \times 5 = 45$

Расположив делители в порядке возрастания, получаем полный список.
Ответ: 1, 3, 5, 9, 15, 45.

б) 36
Разложим число 36 на простые множители: $36 = 6 \times 6 = (2 \times 3) \times (2 \times 3) = 2^2 \times 3^2$.
Делители числа 36 имеют вид $2^a \times 3^b$, где $a \in \{0, 1, 2\}$ и $b \in \{0, 1, 2\}$.
Переберем все комбинации:

• При $a=0$: $2^0 \times 3^0 = 1$, $2^0 \times 3^1 = 3$, $2^0 \times 3^2 = 9$.
• При $a=1$: $2^1 \times 3^0 = 2$, $2^1 \times 3^1 = 6$, $2^1 \times 3^2 = 18$.
• При $a=2$: $2^2 \times 3^0 = 4$, $2^2 \times 3^1 = 12$, $2^2 \times 3^2 = 36$.

Расположим все найденные делители в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

в) 47
Чтобы найти делители числа 47, проверим, не является ли оно простым. Простое число — это натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Для проверки будем пробовать делить 47 на простые числа, не превосходящие $\sqrt{47}$.
Поскольку $6^2 = 36$ и $7^2 = 49$, то $\sqrt{47} \approx 6.8$. Нужно проверить делимость на простые числа 2, 3, 5.

• 47 — нечетное число, поэтому на 2 не делится.
• Сумма цифр $4 + 7 = 11$, 11 не делится на 3, значит, 47 на 3 не делится.
• Число не оканчивается на 0 или 5, поэтому на 5 не делится.

Так как 47 не делится ни на одно простое число до своего квадратного корня, оно является простым.
Ответ: 1, 47.

г) 59
Проверим, является ли число 59 простым. Для этого проверим его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{59}$.
Так как $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$, то $\sqrt{59} \approx 7.7$. Проверяем делимость на простые числа 2, 3, 5, 7.

• 59 — нечетное, на 2 не делится.
• Сумма цифр $5 + 9 = 14$, 14 не делится на 3, значит, 59 на 3 не делится.
• Число не оканчивается на 0 или 5, поэтому на 5 не делится.
• При делении на 7: $59 = 7 \times 8 + 3$. Делится с остатком.

Число 59 является простым, у него только два делителя.
Ответ: 1, 59.

д) 88
Разложим число 88 на простые множители: $88 = 8 \times 11 = 2 \times 2 \times 2 \times 11 = 2^3 \times 11^1$.
Делители числа 88 имеют вид $2^a \times 11^b$, где $a \in \{0, 1, 2, 3\}$ и $b \in \{0, 1\}$.
Переберем комбинации:

• При $b=0$: $2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8$.
• При $b=1$: $2^0 \times 11^1 = 11$, $2^1 \times 11^1 = 22$, $2^2 \times 11^1 = 44$, $2^3 \times 11^1 = 88$.

Запишем все делители в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88.

е) 96
Разложим число 96 на простые множители: $96 = 2 \times 48 = 2 \times 2 \times 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^5 \times 3^1$.
Делители числа 96 имеют вид $2^a \times 3^b$, где $a \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ и $b \in \{0, 1\}$.
Переберем комбинации:

• При $b=0$: $2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32$.
• При $b=1$: $2^0 \times 3^1=3, 2^1 \times 3^1=6, 2^2 \times 3^1=12, 2^3 \times 3^1=24, 2^4 \times 3^1=48, 2^5 \times 3^1=96$.

Объединим и расположим все найденные делители в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96.

18. Выпишите все делители числа и запишите их количество:

$2^5$ — 1, $2^1$, $2^2$, $2^3$, $2^4$, $2^5$ — 6 делителей

а) $3^6$ — ..........

б) $6^7$ — ..........

в) $7^8$ — ..........

а) $3^6$ — Для нахождения всех делителей числа вида $p^n$, где $p$ — простое число, а $n$ — натуральный показатель степени, необходимо перечислить все степени от $p^0$ до $p^n$. В данном случае $p=3$ и $n=6$.

Делителями числа $3^6$ являются: $3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6$.

Записывая $3^0$ как 1, получаем список делителей: $1, 3, 9, 27, 81, 243, 729$.

Общее количество делителей равно показателю степени плюс один: $n+1 = 6+1 = 7$.

Ответ: $1, 3, 9, 27, 81, 243, 729$ — 7 делителей.

б) $6^7$ — Основание степени, число 6, является составным. Для нахождения делителей необходимо разложить его на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$.

Тогда исходное число равно $6^7 = (2 \cdot 3)^7 = 2^7 \cdot 3^7$.

Любой делитель этого числа имеет вид $d = 2^i \cdot 3^j$, где показатель степени $i$ может принимать любое целое значение от 0 до 7 (всего $8$ значений), а показатель степени $j$ — также любое целое значение от 0 до 7 (всего $8$ значений).

Чтобы найти общее количество делителей, нужно перемножить количество возможных значений для каждого показателя степени: $(7+1) \cdot (7+1) = 8 \cdot 8 = 64$.

Поскольку общее количество делителей велико (64), выписывать их полный список нецелесообразно. Основная задача здесь — найти их количество.

Ответ: 64 делителя.

в) $7^8$ — В этом случае основание степени, число 7, является простым. Решение аналогично пункту а). Здесь $p=7$ и $n=8$.

Делителями числа $7^8$ являются все степени числа 7 от 0 до 8: $7^0, 7^1, 7^2, 7^3, 7^4, 7^5, 7^6, 7^7, 7^8$.

Записывая $7^0$ как 1 и оставляя остальные делители в виде степеней для наглядности (по аналогии с примером в задании), получаем список: $1, 7^1, 7^2, 7^3, 7^4, 7^5, 7^6, 7^7, 7^8$.

Количество делителей равно $n+1$, то есть $8+1=9$.

Ответ: $1, 7^1, 7^2, 7^3, 7^4, 7^5, 7^6, 7^7, 7^8$ — 9 делителей.

19*. Определите, сколько делителей имеет выражение:

а) $2^3 \cdot 3^2$ — .....................

б) $5^3 \cdot 2^5$ — .....................

Чтобы найти количество натуральных делителей числа, нужно сначала разложить это число на простые множители. Если разложение на простые множители имеет вид $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k}$, где $p_1, p_2, \dots, p_k$ — различные простые числа, а $a_1, a_2, \dots, a_k$ — их степени (натуральные числа), то общее количество делителей числа $N$ вычисляется по формуле: $(a_1 + 1)(a_2 + 1)\dots(a_k + 1)$.

а)

Выражение $2^3 \cdot 3^2$ уже представлено в виде разложения на простые множители. Простыми множителями являются 2 и 3, а их степени равны 3 и 2 соответственно.

Чтобы найти количество делителей, к каждой степени прибавляем 1 и перемножаем полученные результаты.

Для множителя $2^3$ берем степень 3: $3 + 1 = 4$.

Для множителя $3^2$ берем степень 2: $2 + 1 = 3$.

Общее количество делителей равно произведению этих чисел: $(3 + 1)(2 + 1) = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12.

б)

Выражение $5^3 \cdot 2^5$ также уже представлено в виде разложения на простые множители. Простые множители — 5 и 2, а их степени — 3 и 5 соответственно.

Применяем ту же формулу.

Для множителя $5^3$ берем степень 3: $3 + 1 = 4$.

Для множителя $2^5$ берем степень 5: $5 + 1 = 6$.

Общее количество делителей равно произведению этих чисел: $(3 + 1)(5 + 1) = 4 \cdot 6 = 24$.

Ответ: 24.

20*. Не вычисляя в столбик, докажите, что:

а) число 777 делится на 21;

б) выражение $A = 121 \cdot 19 + 212 \cdot 19$ делится на 57;

в) выражение $B = 765 \cdot 25 - 421 \cdot 25$ делится на 100.

Доказательство.

а) Чтобы доказать, что число 777 делится на 21, разложим число 777 на множители.
$777 = 7 \cdot 111$.
Далее, разложим 111 на множители. Так как сумма цифр числа 111 равна $1+1+1=3$, то оно делится на 3: $111 = 3 \cdot 37$.
Таким образом, мы можем записать: $777 = 7 \cdot (3 \cdot 37)$.
Сгруппируем множители: $777 = (7 \cdot 3) \cdot 37 = 21 \cdot 37$.
Поскольку число 777 можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 21, это доказывает, что 777 делится на 21 нацело.
Ответ: поскольку $777 = 21 \cdot 37$, число 777 делится на 21.

б) Чтобы доказать, что выражение $A = 121 \cdot 19 + 212 \cdot 19$ делится на 57, воспользуемся распределительным свойством умножения и вынесем общий множитель 19 за скобки:
$A = (121 + 212) \cdot 19$.
Вычислим сумму в скобках: $121 + 212 = 333$.
Выражение принимает вид: $A = 333 \cdot 19$.
Разложим число 57 на множители: $57 = 3 \cdot 19$. Чтобы доказать делимость A на 57, нужно показать, что в его разложении на множители есть 3 и 19.
Множитель 19 у нас уже есть. Проверим, делится ли 333 на 3. Сумма цифр $3+3+3=9$ делится на 3, значит, и 333 делится на 3: $333 = 3 \cdot 111$.
Подставим это в наше выражение: $A = (3 \cdot 111) \cdot 19$.
Перегруппируем множители: $A = (3 \cdot 19) \cdot 111 = 57 \cdot 111$.
Так как выражение A представлено в виде произведения, где один из множителей равен 57, то оно делится на 57.
Ответ: поскольку $A = 57 \cdot 111$, выражение A делится на 57.

в) Чтобы доказать, что выражение $B = 765 \cdot 25 - 421 \cdot 25$ делится на 100, вынесем общий множитель 25 за скобки:
$B = (765 - 421) \cdot 25$.
Выполним вычитание в скобках: $765 - 421 = 344$.
Выражение принимает вид: $B = 344 \cdot 25$.
Мы знаем, что $100 = 4 \cdot 25$. В нашем выражении уже есть множитель 25. Осталось проверить, делится ли другой множитель, 344, на 4.
Число делится на 4, если число, образованное его последними двумя цифрами, делится на 4. В числе 344 это число 44. Так как $44 \div 4 = 11$, то 344 делится на 4.
$344 = 4 \cdot 86$.
Подставим это в выражение для B: $B = (4 \cdot 86) \cdot 25$.
Перегруппируем множители: $B = 86 \cdot (4 \cdot 25) = 86 \cdot 100$.
Так как выражение B представлено в виде произведения, где один из множителей равен 100, то оно делится на 100.
Ответ: поскольку $B = 86 \cdot 100$, выражение B делится на 100.

233. Выполните действия:

а) $ \frac{1^{\setminus x+1}}{x} + \frac{2^{\setminus x}}{x+1} = \frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{2x}{x(x+1)} = \dots $

б) $ \frac{1^{\setminus x-1}}{x} - \frac{5^{\setminus x}}{x-1} = \frac{\dots}{x(x-1)} - \frac{\dots}{x(x-1)} = \dots $

в) $ \frac{3^{\setminus \dots}}{x-1} + \frac{2^{\setminus \dots}}{x+1} = \frac{\dots}{(\dots)(\dots)} + \frac{\dots}{(\dots)(\dots)} = \dots $

г) $ \frac{5^{\setminus \dots}}{x-2} - \frac{7^{\setminus \dots}}{x+2} = \frac{\dots}{(\dots)(\dots)} + \frac{\dots}{(\dots)(\dots)} = \dots $

а) Чтобы сложить дроби $ \frac{1}{x} $ и $ \frac{2}{x+1} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем является произведение их знаменателей: $ x(x+1) $.

Дополнительный множитель для первой дроби — $ (x+1) $, для второй — $ x $. Умножим числители на эти множители, а затем сложим полученные дроби:

$ \frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = \frac{1 \cdot (x+1)}{x(x+1)} + \frac{2 \cdot x}{x(x+1)} = \frac{x+1+2x}{x(x+1)} = \frac{3x+1}{x(x+1)} $

Ответ: $ \frac{3x+1}{x(x+1)} $.

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{1}{x} - \frac{5}{x-1} $, найдем общий знаменатель. Он равен произведению знаменателей: $ x(x-1) $.

Дополнительный множитель для первой дроби — $ (x-1) $, для второй — $ x $. Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$ \frac{1}{x} - \frac{5}{x-1} = \frac{1 \cdot (x-1)}{x(x-1)} - \frac{5 \cdot x}{x(x-1)} = \frac{(x-1)-5x}{x(x-1)} = \frac{x-1-5x}{x(x-1)} = \frac{-4x-1}{x(x-1)} $

Ответ: $ \frac{-4x-1}{x(x-1)} $.

в) Чтобы сложить дроби $ \frac{3}{x-1} $ и $ \frac{2}{x+1} $, приведем их к общему знаменателю $ (x-1)(x+1) $, который по формуле разности квадратов равен $ x^2-1 $.

Дополнительный множитель для первой дроби — $ (x+1) $, для второй — $ (x-1) $. Выполним сложение, предварительно раскрыв скобки в числителе:

$ \frac{3}{x-1} + \frac{2}{x+1} = \frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3(x+1)+2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x+3+2x-2}{x^2-1} = \frac{5x+1}{x^2-1} $

Ответ: $ \frac{5x+1}{x^2-1} $.

г) Чтобы вычесть дробь $ \frac{7}{x+2} $ из $ \frac{5}{x-2} $, найдем общий знаменатель, который равен $ (x-2)(x+2) $ или $ x^2-4 $.

Дополнительный множитель для первой дроби — $ (x+2) $, для второй — $ (x-2) $. Выполним вычитание, внимательно раскрыв скобки в числителе:

$ \frac{5}{x-2} - \frac{7}{x+2} = \frac{5(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{7(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{5(x+2)-7(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{5x+10-(7x-14)}{x^2-4} = \frac{5x+10-7x+14}{x^2-4} = \frac{-2x+24}{x^2-4} $

Ответ: $ \frac{-2x+24}{x^2-4} $.

234. Выполните действия:

а) $ \frac{1}{x+1} + \frac{x}{x^2-1} = \frac{1 \backslash (x-1)}{x+1} + \frac{x}{(x-1)(x+1)} = \dots $

б) $ \frac{3x}{x^2-4} - \frac{1}{x-2} = \frac{3x}{(x-2)(x+2)} - \frac{1 \backslash (x+2)}{x-2} = \dots $

в) $ \frac{1}{(x+3)^2} + \frac{2}{x^2-9} = \frac{1 \backslash \dots}{(x+3)^2} + \frac{2 \backslash \dots}{(x-3)(x+3)} = \dots $

$ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots $

г) $ \frac{x+5}{x^2-5x} + \frac{20}{25-x^2} = \dots $

а)

Чтобы сложить дроби $\frac{1}{x+1}$ и $\frac{x}{x^2-1}$, приведем их к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатель второй дроби на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2-1 = (x-1)(x+1)$.

2. Исходное выражение принимает вид:
$\frac{1}{x+1} + \frac{x}{(x-1)(x+1)}$.

3. Общий знаменатель для этих дробей — $(x-1)(x+1)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(x-1)$, для второй — $1$.

4. Выполним сложение:
$\frac{1 \cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{x}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-1+x}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x-1}{x^2-1}$.

Ответ: $\frac{2x-1}{x^2-1}$.

б)

Чтобы вычесть дробь $\frac{1}{x-2}$ из дроби $\frac{3x}{x^2-4}$, приведем их к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатель первой дроби на множители:
$x^2-4 = (x-2)(x+2)$.

2. Исходное выражение принимает вид:
$\frac{3x}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x-2}$.

3. Общий знаменатель — $(x-2)(x+2)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $1$, для второй — $(x+2)$.

4. Выполним вычитание:
$\frac{3x}{(x-2)(x+2)} - \frac{1 \cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{3x - (x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{3x-x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x-2}{x^2-4}$.

Ответ: $\frac{2x-2}{x^2-4}$.

в)

Чтобы сложить дроби $\frac{1}{(x+3)^2}$ и $\frac{2}{x^2-9}$, приведем их к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатель второй дроби на множители:
$x^2-9 = (x-3)(x+3)$.

2. Исходное выражение принимает вид:
$\frac{1}{(x+3)^2} + \frac{2}{(x-3)(x+3)}$.

3. Наименьший общий знаменатель — это произведение всех различных множителей в их наибольшей степени: $(x-3)(x+3)^2$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(x-3)$, для второй — $(x+3)$.

4. Выполним сложение:
$\frac{1 \cdot (x-3)}{(x-3)(x+3)^2} + \frac{2 \cdot (x+3)}{(x-3)(x+3)^2} = \frac{x-3+2(x+3)}{(x-3)(x+3)^2} = \frac{x-3+2x+6}{(x-3)(x+3)^2} = \frac{3x+3}{(x-3)(x+3)^2} = \frac{3(x+1)}{(x-3)(x+3)^2}$.

Ответ: $\frac{3(x+1)}{(x-3)(x+3)^2}$.

г)

Чтобы сложить дроби $\frac{x+5}{x^2-5x}$ и $\frac{20}{25-x^2}$, приведем их к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатели на множители:
$x^2-5x = x(x-5)$
$25-x^2 = (5-x)(5+x) = -(x-5)(x+5)$.

2. Преобразуем исходное выражение, вынеся минус из знаменателя второй дроби:
$\frac{x+5}{x(x-5)} + \frac{20}{-(x-5)(x+5)} = \frac{x+5}{x(x-5)} - \frac{20}{(x-5)(x+5)}$.

3. Наименьший общий знаменатель — $x(x-5)(x+5)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(x+5)$, для второй — $x$.

4. Выполним действия:
$\frac{(x+5)(x+5)}{x(x-5)(x+5)} - \frac{20 \cdot x}{x(x-5)(x+5)} = \frac{(x+5)^2 - 20x}{x(x-5)(x+5)}$.

5. Упростим числитель:
$(x+5)^2 - 20x = (x^2+10x+25) - 20x = x^2-10x+25$.

6. Числитель является полным квадратом: $x^2-10x+25 = (x-5)^2$.

7. Подставим упрощенный числитель в дробь и сократим:
$\frac{(x-5)^2}{x(x-5)(x+5)} = \frac{x-5}{x(x+5)}$.

Ответ: $\frac{x-5}{x(x+5)}$.

235. Выполните умножение алгебраических дробей:

а) $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = $

б) $\frac{3}{x} \cdot \frac{y}{5} = $

в) $\frac{5}{x} \cdot \frac{x}{x-1} = $

г) $\frac{6}{x+1} \cdot \frac{x+1}{12x} = $

д) $\frac{5}{x-1} \cdot \frac{x-1}{5(x+2)} = $

е) $\frac{3x-1}{x-7} \cdot \frac{2x-14}{9x-3} = $

ж) $\frac{2x-12}{12x-3} \cdot \frac{1-4x}{6-x} = $

з) $\frac{x+5}{4x-4} \cdot \frac{1-x}{3x+15} = $

а) Чтобы умножить две алгебраические дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели. Произведение числителей станет числителем новой дроби, а произведение знаменателей — её знаменателем.
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} = \frac{ac}{bd}$
Ответ: $\frac{ac}{bd}$

б) Применяем правило умножения дробей: числитель умножаем на числитель, а знаменатель на знаменатель.
$\frac{3}{x} \cdot \frac{y}{5} = \frac{3 \cdot y}{x \cdot 5} = \frac{3y}{5x}$
Ответ: $\frac{3y}{5x}$

в) Перемножаем числители и знаменатели дробей.
$\frac{5}{x} \cdot \frac{x}{x-1} = \frac{5 \cdot x}{x(x-1)}$
Сокращаем общий множитель $x$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \neq 0$).
$\frac{5\cancel{x}}{\cancel{x}(x-1)} = \frac{5}{x-1}$
Ответ: $\frac{5}{x-1}$

г) Перемножаем числители и знаменатели.
$\frac{6}{x+1} \cdot \frac{x+1}{12x} = \frac{6 \cdot (x+1)}{(x+1) \cdot 12x}$
Сокращаем общий множитель $(x+1)$ (при условии, что $x+1 \neq 0$, т.е. $x \neq -1$).
$\frac{6\cancel{(x+1)}}{12x\cancel{(x+1)}} = \frac{6}{12x}$
Сокращаем числовой коэффициент, разделив числитель и знаменатель на 6.
$\frac{6}{12x} = \frac{1}{2x}$
Ответ: $\frac{1}{2x}$

д) Перемножаем числители и знаменатели.
$\frac{5}{x-1} \cdot \frac{x-1}{5(x+2)} = \frac{5 \cdot (x-1)}{(x-1) \cdot 5(x+2)}$
Сокращаем общие множители 5 и $(x-1)$ (при условии, что $x-1 \neq 0$, т.е. $x \neq 1$).
$\frac{\cancel{5}\cancel{(x-1)}}{\cancel{5}\cancel{(x-1)}(x+2)} = \frac{1}{x+2}$
Ответ: $\frac{1}{x+2}$

е) Прежде чем перемножать, разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби.
$2x-14 = 2(x-7)$
$9x-3 = 3(3x-1)$
Подставим разложенные выражения в исходное:
$\frac{3x-1}{x-7} \cdot \frac{2(x-7)}{3(3x-1)} = \frac{(3x-1) \cdot 2(x-7)}{(x-7) \cdot 3(3x-1)}$
Сокращаем общие множители $(3x-1)$ и $(x-7)$ (при условии, что $x \neq 7$ и $x \neq \frac{1}{3}$).
$\frac{\cancel{(3x-1)} \cdot 2\cancel{(x-7)}}{\cancel{(x-7)} \cdot 3\cancel{(3x-1)}} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

ж) Разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей.
$2x-12 = 2(x-6)$
$12x-3 = 3(4x-1)$
$1-4x = -(4x-1)$
$6-x = -(x-6)$
Подставим разложенные выражения:
$\frac{2(x-6)}{3(4x-1)} \cdot \frac{-(4x-1)}{-(x-6)} = \frac{2(x-6) \cdot (-(4x-1))}{3(4x-1) \cdot (-(x-6))}$
Минусы в числителе и знаменателе сокращаются. Сокращаем общие множители $(x-6)$ и $(4x-1)$ (при условии, что $x \neq 6$ и $x \neq \frac{1}{4}$).
$\frac{2\cancel{(x-6)}\cancel{(4x-1)}}{3\cancel{(4x-1)}\cancel{(x-6)}} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

з) Разложим на множители знаменатель первой дроби, а также числитель и знаменатель второй дроби.
$4x-4 = 4(x-1)$
$1-x = -(x-1)$
$3x+15 = 3(x+5)$
Подставим разложенные выражения:
$\frac{x+5}{4(x-1)} \cdot \frac{-(x-1)}{3(x+5)} = \frac{(x+5) \cdot (-(x-1))}{4(x-1) \cdot 3(x+5)}$
Запишем произведение в одну дробь и вынесем минус вперед.
$-\frac{(x+5)(x-1)}{12(x-1)(x+5)}$
Сокращаем общие множители $(x+5)$ и $(x-1)$ (при условии, что $x \neq -5$ и $x \neq 1$).
$-\frac{\cancel{(x+5)}\cancel{(x-1)}}{12\cancel{(x-1)}\cancel{(x+5)}} = -\frac{1}{12}$
Ответ: $-\frac{1}{12}$