Номер 235, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 235, страница 10.

Условие.

235. Выполните умножение алгебраических дробей:

а) $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = $

б) $\frac{3}{x} \cdot \frac{y}{5} = $

в) $\frac{5}{x} \cdot \frac{x}{x-1} = $

г) $\frac{6}{x+1} \cdot \frac{x+1}{12x} = $

д) $\frac{5}{x-1} \cdot \frac{x-1}{5(x+2)} = $

е) $\frac{3x-1}{x-7} \cdot \frac{2x-14}{9x-3} = $

ж) $\frac{2x-12}{12x-3} \cdot \frac{1-4x}{6-x} = $

з) $\frac{x+5}{4x-4} \cdot \frac{1-x}{3x+15} = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы умножить две алгебраические дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели. Произведение числителей станет числителем новой дроби, а произведение знаменателей — её знаменателем.
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} = \frac{ac}{bd}$
Ответ: $\frac{ac}{bd}$

б) Применяем правило умножения дробей: числитель умножаем на числитель, а знаменатель на знаменатель.
$\frac{3}{x} \cdot \frac{y}{5} = \frac{3 \cdot y}{x \cdot 5} = \frac{3y}{5x}$
Ответ: $\frac{3y}{5x}$

в) Перемножаем числители и знаменатели дробей.
$\frac{5}{x} \cdot \frac{x}{x-1} = \frac{5 \cdot x}{x(x-1)}$
Сокращаем общий множитель $x$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \neq 0$).
$\frac{5\cancel{x}}{\cancel{x}(x-1)} = \frac{5}{x-1}$
Ответ: $\frac{5}{x-1}$

г) Перемножаем числители и знаменатели.
$\frac{6}{x+1} \cdot \frac{x+1}{12x} = \frac{6 \cdot (x+1)}{(x+1) \cdot 12x}$
Сокращаем общий множитель $(x+1)$ (при условии, что $x+1 \neq 0$, т.е. $x \neq -1$).
$\frac{6\cancel{(x+1)}}{12x\cancel{(x+1)}} = \frac{6}{12x}$
Сокращаем числовой коэффициент, разделив числитель и знаменатель на 6.
$\frac{6}{12x} = \frac{1}{2x}$
Ответ: $\frac{1}{2x}$

д) Перемножаем числители и знаменатели.
$\frac{5}{x-1} \cdot \frac{x-1}{5(x+2)} = \frac{5 \cdot (x-1)}{(x-1) \cdot 5(x+2)}$
Сокращаем общие множители 5 и $(x-1)$ (при условии, что $x-1 \neq 0$, т.е. $x \neq 1$).
$\frac{\cancel{5}\cancel{(x-1)}}{\cancel{5}\cancel{(x-1)}(x+2)} = \frac{1}{x+2}$
Ответ: $\frac{1}{x+2}$

е) Прежде чем перемножать, разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби.
$2x-14 = 2(x-7)$
$9x-3 = 3(3x-1)$
Подставим разложенные выражения в исходное:
$\frac{3x-1}{x-7} \cdot \frac{2(x-7)}{3(3x-1)} = \frac{(3x-1) \cdot 2(x-7)}{(x-7) \cdot 3(3x-1)}$
Сокращаем общие множители $(3x-1)$ и $(x-7)$ (при условии, что $x \neq 7$ и $x \neq \frac{1}{3}$).
$\frac{\cancel{(3x-1)} \cdot 2\cancel{(x-7)}}{\cancel{(x-7)} \cdot 3\cancel{(3x-1)}} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

ж) Разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей.
$2x-12 = 2(x-6)$
$12x-3 = 3(4x-1)$
$1-4x = -(4x-1)$
$6-x = -(x-6)$
Подставим разложенные выражения:
$\frac{2(x-6)}{3(4x-1)} \cdot \frac{-(4x-1)}{-(x-6)} = \frac{2(x-6) \cdot (-(4x-1))}{3(4x-1) \cdot (-(x-6))}$
Минусы в числителе и знаменателе сокращаются. Сокращаем общие множители $(x-6)$ и $(4x-1)$ (при условии, что $x \neq 6$ и $x \neq \frac{1}{4}$).
$\frac{2\cancel{(x-6)}\cancel{(4x-1)}}{3\cancel{(4x-1)}\cancel{(x-6)}} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

з) Разложим на множители знаменатель первой дроби, а также числитель и знаменатель второй дроби.
$4x-4 = 4(x-1)$
$1-x = -(x-1)$
$3x+15 = 3(x+5)$
Подставим разложенные выражения:
$\frac{x+5}{4(x-1)} \cdot \frac{-(x-1)}{3(x+5)} = \frac{(x+5) \cdot (-(x-1))}{4(x-1) \cdot 3(x+5)}$
Запишем произведение в одну дробь и вынесем минус вперед.
$-\frac{(x+5)(x-1)}{12(x-1)(x+5)}$
Сокращаем общие множители $(x+5)$ и $(x-1)$ (при условии, что $x \neq -5$ и $x \neq 1$).
$-\frac{\cancel{(x+5)}\cancel{(x-1)}}{12\cancel{(x-1)}\cancel{(x+5)}} = -\frac{1}{12}$
Ответ: $-\frac{1}{12}$