Номер 245, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.5. Числовое значение рационального выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 245, страница 16.

Условие.

245. Упростите выражение и вычислите его значение:

а) если $a = 6,3$, $b = 3,15$, то $(\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} - 1)(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) = \ldots$

$\ldots$

$\ldots$

б) если $a = 7\frac{5}{9}$, $b = 7\frac{7}{9}$, то $(\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} - 1)(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) = \ldots$

$\ldots$

в) если $a = 1\frac{10}{11}$, $b = 7,3$, $c = 6,3$, то $(\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c})(\frac{1}{b - c} + \frac{1}{c - a}) = \ldots$

$\ldots$

$\ldots$

г) если $a = 1\frac{2}{3}$, $b = 4\frac{5}{6}$, $c = 7\frac{8}{9}$, то $(\frac{1}{a - b} - \frac{1}{b - c}) \cdot \frac{ab - b^2 - ac + bc}{a + c - 2b} = \ldots$

Решение.

Решение 2.

а) Сначала упростим данное выражение. Преобразуем выражение в каждой скобке по отдельности.
Первая скобка: $ \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} - 1 = \frac{a^2 + b^2 - (a^2 - b^2)}{a^2 - b^2} = \frac{a^2 + b^2 - a^2 + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{2b^2}{a^2 - b^2} $.
Вторая скобка: $ \frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2 - b^2}{ab} $.
Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:
$ (\frac{2b^2}{a^2 - b^2}) \cdot (\frac{a^2 - b^2}{ab}) = \frac{2b^2(a^2 - b^2)}{(a^2 - b^2)ab} $.
Сократим дробь на $ (a^2 - b^2) $ и $ b $:
$ \frac{2b}{a} $.
Подставим числовые значения $ a = 6.3 $ и $ b = 3.15 $ в упрощенное выражение.
$ \frac{2 \cdot 3.15}{6.3} = \frac{6.3}{6.3} = 1 $.
Также можно заметить, что $ a = 2b $, тогда $ \frac{2b}{a} = \frac{2b}{2b} = 1 $.
Ответ: 1

б) Сначала упростим данное выражение. Преобразуем выражение в каждой скобке по отдельности.
Первая скобка: $ \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} - 1 = \frac{a^2 - b^2 - (a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 - b^2 - a^2 - b^2}{a^2 + b^2} = \frac{-2b^2}{a^2 + b^2} $.
Вторая скобка: $ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} $.
Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:
$ (\frac{-2b^2}{a^2 + b^2}) \cdot (\frac{a^2 + b^2}{ab}) = \frac{-2b^2(a^2 + b^2)}{(a^2 + b^2)ab} $.
Сократим дробь на $ (a^2 + b^2) $ и $ b $:
$ \frac{-2b}{a} $.
Подставим числовые значения $ a = 7\frac{5}{9} $ и $ b = 7\frac{7}{9} $. Переведем их в неправильные дроби:
$ a = 7\frac{5}{9} = \frac{7 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{68}{9} $
$ b = 7\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{70}{9} $
Вычислим значение выражения:
$ \frac{-2b}{a} = \frac{-2 \cdot \frac{70}{9}}{\frac{68}{9}} = -2 \cdot \frac{70}{9} \cdot \frac{9}{68} = -2 \cdot \frac{70}{68} = -\frac{140}{68} = -\frac{35}{17} $.
Ответ: $ -\frac{35}{17} $

в) Сначала упростим данное выражение. Преобразуем выражение в каждой скобке по отдельности.
Первая скобка: $ \frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} = \frac{b-c + a-b}{(a-b)(b-c)} = \frac{a-c}{(a-b)(b-c)} $.
Вторая скобка: $ \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a} = \frac{c-a + b-c}{(b-c)(c-a)} = \frac{b-a}{(b-c)(c-a)} $.
Теперь перемножим полученные выражения:
$ \frac{a-c}{(a-b)(b-c)} \cdot \frac{b-a}{(b-c)(c-a)} = \frac{(a-c)(b-a)}{(a-b)(b-c)^2(c-a)} $.
Заменим $ b-a = -(a-b) $ и $ c-a = -(a-c) $:
$ \frac{(a-c)(-(a-b))}{(a-b)(b-c)^2(-(a-c))} = \frac{-(a-c)(a-b)}{-(a-b)(b-c)^2(a-c)} = \frac{1}{(b-c)^2} $.
Подставим числовые значения $ b = 7.3 $ и $ c = 6.3 $. Значение $ a $ не требуется.
$ \frac{1}{(7.3 - 6.3)^2} = \frac{1}{1^2} = 1 $.
Ответ: 1

г) Сначала упростим данное выражение. Преобразуем первую скобку:
$ \frac{1}{a-b} - \frac{1}{b-c} = \frac{b-c - (a-b)}{(a-b)(b-c)} = \frac{b-c-a+b}{(a-b)(b-c)} = \frac{2b-a-c}{(a-b)(b-c)} $.
Теперь упростим второй множитель (дробь). Разложим на множители числитель:
$ ab - b^2 - ac + bc = (ab - b^2) - (ac - bc) = b(a-b) - c(a-b) = (a-b)(b-c) $.
Таким образом, второй множитель равен $ \frac{(a-b)(b-c)}{a+c-2b} $.
Перемножим полученные выражения:
$ (\frac{2b-a-c}{(a-b)(b-c)}) \cdot (\frac{(a-b)(b-c)}{a+c-2b}) $.
Заметим, что числитель первой дроби $ 2b-a-c = -(a+c-2b) $. Подставим это в выражение:
$ \frac{-(a+c-2b)}{(a-b)(b-c)} \cdot \frac{(a-b)(b-c)}{a+c-2b} $.
Сокращая одинаковые множители $ (a-b) $, $ (b-c) $ и $ (a+c-2b) $, получаем:
$ -1 $.
Результат не зависит от конкретных значений $ a, b, c $, если знаменатели не обращаются в нуль, что верно для данных в условии значений.
Ответ: -1