Номер 225, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

7.1. Алгебраические дроби и их свойства. Параграф 7. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 225, страница 5.

Условие.

225. Сократите дробь:

a) $\frac{3x - 3}{4x - 4} = \frac{\dots}{\dots} = \frac{\dots}{\dots}$;

б) $\frac{5x + 10}{3x + 6} = \frac{\dots}{\dots} = \frac{\dots}{\dots}$;

в) $\frac{3x^2 - 4x}{3x^3 - 4x^2} = \frac{\dots}{\dots} = \frac{\dots}{\dots}$;

г) $\frac{7x^3 - 8x^2}{7x^2 - 8x} = \frac{\dots}{\dots} = \frac{\dots}{\dots} = \frac{\dots}{\dots}$

д) $\frac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16} = \frac{\dots}{\dots}$

е) $\frac{x^2 + 10x + 25}{x^2 - 25} = \frac{\dots}{\dots}$

Решение.

Решение 2.

а) Для того чтобы сократить дробь $\frac{3x - 3}{4x - 4}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем за скобки общий множитель 3, а в знаменателе — 4.

$\frac{3x - 3}{4x - 4} = \frac{3(x - 1)}{4(x - 1)}$

Теперь мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 1)$, при условии, что $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

$\frac{3\cancel{(x - 1)}}{4\cancel{(x - 1)}} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{5x + 10}{3x + 6}$, вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе. В числителе это 5, в знаменателе — 3.

$\frac{5x + 10}{3x + 6} = \frac{5(x + 2)}{3(x + 2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x + 2)$, при условии, что $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

$\frac{5\cancel{(x + 2)}}{3\cancel{(x + 2)}} = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{3x^2 - 4x}{3x^3 - 4x^2}$, вынесем общие множители за скобки. В числителе это $x$, а в знаменателе — $x^2$.

$\frac{3x^2 - 4x}{3x^3 - 4x^2} = \frac{x(3x - 4)}{x^2(3x - 4)}$

Сокращаем на общий множитель $(3x - 4)$ (при $x \neq \frac{4}{3}$) и на $x$ (при $x \neq 0$).

$\frac{x\cancel{(3x - 4)}}{x^2\cancel{(3x - 4)}} = \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$

Ответ: $\frac{1}{x}$

г) В дроби $\frac{7x^3 - 8x^2}{7x^2 - 8x}$ вынесем общие множители за скобки. В числителе это $x^2$, а в знаменателе — $x$.

$\frac{7x^3 - 8x^2}{7x^2 - 8x} = \frac{x^2(7x - 8)}{x(7x - 8)}$

Сокращаем на общий множитель $(7x - 8)$ (при $x \neq \frac{8}{7}$) и на $x$ (при $x \neq 0$).

$\frac{x^2\cancel{(7x - 8)}}{x\cancel{(7x - 8)}} = \frac{x^2}{x} = x$

Ответ: $x$

д) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}$, разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель раскладываем по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$

Знаменатель раскладываем по формуле квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:

$x^2 - 8x + 16 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x - 4)^2$

Подставляем разложенные выражения в дробь:

$\frac{(x - 4)(x + 4)}{(x - 4)^2}$

Сокращаем на общий множитель $(x - 4)$, при условии что $x \neq 4$.

$\frac{\cancel{(x - 4)}(x + 4)}{(x - 4)^{\cancel{2}}} = \frac{x + 4}{x - 4}$

Ответ: $\frac{x + 4}{x - 4}$

е) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + 10x + 25}{x^2 - 25}$, разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель раскладываем по формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$:

$x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x + 5)^2$

Знаменатель раскладываем по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5)$

Подставляем разложенные выражения в дробь:

$\frac{(x + 5)^2}{(x - 5)(x + 5)}$

Сокращаем на общий множитель $(x + 5)$, при условии что $x \neq -5$.

$\frac{(x + 5)^{\cancel{2}}}{(x - 5)\cancel{(x + 5)}} = \frac{x + 5}{x - 5}$

Ответ: $\frac{x + 5}{x - 5}$