Номер 215, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 215, страница 76.

Условие.

215. Докажите двумя способами формулу

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc.$

Доказательство.

I способ. $(a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c) = \dots$

...

II способ. $((a + b) + c)^2 = (a + b)^2 + \dots$

Решение.

Решение 2.

I способ.

Данный способ заключается в прямом раскрытии скобок по определению квадрата выражения. Квадрат выражения $(a + b + c)$ — это произведение этого выражения на само себя. Выполним умножение многочлена $(a + b + c)$ на многочлен $(a + b + c)$, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго.

$(a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c) = a \cdot (a + b + c) + b \cdot (a + b + c) + c \cdot (a + b + c)$

$= a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2$

Теперь сгруппируем и сложим подобные слагаемые (учитывая, что от перемены мест множителей произведение не меняется, например, $ab = ba$):

$= a^2 + b^2 + c^2 + (ab + ba) + (ac + ca) + (bc + cb) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.

Формула доказана.

Ответ: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.

II способ.

Этот способ основан на использовании формулы квадрата суммы двух слагаемых: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Для этого сгруппируем слагаемые в исходном выражении, представив их как сумму двух: пусть $x = (a + b)$ и $y = c$.

$(a + b + c)^2 = ((a + b) + c)^2 = (a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2$.

Теперь раскроем скобки в полученном выражении. Выражение $(a + b)^2$ также является квадратом суммы, поэтому $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Второе слагаемое раскроем по распределительному закону умножения: $2(a + b)c = 2ac + 2bc$.

Подставим результаты в наше выражение:

$(a^2 + 2ab + b^2) + (2ac + 2bc) + c^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2$.

Перегруппируем слагаемые для получения стандартного вида формулы:

$= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.

Формула доказана.

Ответ: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.