Номер 212, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.8. Куб разности. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 212, страница 75.

Условие.

212. Запишите в виде куба разности:

$x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = (x - y)^3$

а) $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = \dots$

б) $x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = \dots$

в) $x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = \dots$

Решение.

Решение 2.

Чтобы записать данные выражения в виде куба разности, мы будем использовать формулу сокращенного умножения для куба разности, которая приведена в условии задачи: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$. Для каждого выражения мы определим, чему равны $x$ и $y$ в формуле, и проверим соответствие всех членов.

а) $x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

1. Сравним данное выражение с формулой $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

2. Определим значения $a$ и $b$.
Первый член выражения $x^3$ соответствует $a^3$, следовательно, $a = x$.
Последний член выражения $-1$ соответствует $-b^3$, следовательно, $b^3 = 1$, а значит $b = 1$.

3. Проверим, соответствуют ли средние члены выражения нашей формуле при $a=x$ и $b=1$.
Второй член по формуле: $-3a^2b = -3 \cdot x^2 \cdot 1 = -3x^2$. Это совпадает со вторым членом в исходном выражении.
Третий член по формуле: $3ab^2 = 3 \cdot x \cdot 1^2 = 3x$. Этот член также совпадает.

4. Так как все члены выражения соответствуют развернутой формуле куба разности для $a=x$ и $b=1$, мы можем записать:
$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$.

Ответ: $(x - 1)^3$.

б) $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

1. Аналогично предыдущему пункту, применяем формулу $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

2. Определим $a$ и $b$.
Первый член $x^3$ дает нам $a = x$.
Последний член $-8$ соответствует $-b^3$, следовательно, $b^3 = 8$, откуда $b = 2$.

3. Выполним проверку средних членов для $a=x$ и $b=2$.
Второй член: $-3a^2b = -3 \cdot x^2 \cdot 2 = -6x^2$. Совпадает.
Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot x \cdot 2^2 = 3 \cdot x \cdot 4 = 12x$. Совпадает.

4. Выражение полностью соответствует формуле, поэтому:
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = (x - 2)^3$.

Ответ: $(x - 2)^3$.

в) $x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

1. Используем тот же подход и формулу $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

2. Определим $a$ и $b$.
Из $x^3$ получаем $a = x$.
Из $-27$ получаем $-b^3$, значит $b^3 = 27$, откуда $b = 3$.

3. Проверим средние члены для $a=x$ и $b=3$.
Второй член: $-3a^2b = -3 \cdot x^2 \cdot 3 = -9x^2$. Совпадает.
Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot x \cdot 3^2 = 3 \cdot x \cdot 9 = 27x$. Совпадает.

4. Убедившись в полном соответствии, записываем результат:
$x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = (x - 3)^3$.

Ответ: $(x - 3)^3$.