Номер 217, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 217, страница 76.

Условие.

217. Числа a и b — натуральные, $a > b$. Докажите, что:

а) число $(a + b)^2 - (a - b)^2$ делится на 4;

б) число $(a + b)^3 + (a - b)^3$ делится на $2a$;

в) число $(a + b)^3 - (a - b)^3$ делится на $2b$;

г) число $(a + b)^2 - 4ab$ является квадратом натурального числа;

д) число $(a - b)^2 + 4ab$ является квадратом натурального числа.

Решение.

Решение 2.

а) Упростим выражение, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$(a + b)^2 - (a - b)^2 = ((a + b) - (a - b))((a + b) + (a - b)) = (2b)(2a) = 4ab$.
Так как $a$ и $b$ — натуральные числа, то их произведение $ab$ является натуральным числом, а значит выражение $4ab$ делится на 4.
Ответ: Доказано.

б) Упростим выражение, раскрыв скобки по формулам куба суммы и куба разности:
$(a + b)^3 + (a - b)^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) = 2a^3 + 6ab^2$.
Вынесем за скобки общий множитель $2a$:
$2a^3 + 6ab^2 = 2a(a^2 + 3b^2)$.
Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, выражение в скобках $(a^2 + 3b^2)$ является натуральным числом. Следовательно, всё выражение $2a(a^2 + 3b^2)$ делится на $2a$.
Ответ: Доказано.

в) Упростим выражение, раскрыв скобки по формулам куба суммы и куба разности:
$(a + b)^3 - (a - b)^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) = 6a^2b + 2b^3$.
Вынесем за скобки общий множитель $2b$:
$6a^2b + 2b^3 = 2b(3a^2 + b^2)$.
Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, выражение в скобках $(3a^2 + b^2)$ является натуральным числом. Следовательно, всё выражение $2b(3a^2 + b^2)$ делится на $2b$.
Ответ: Доказано.

г) Упростим выражение, раскрыв скобки по формуле квадрата суммы:
$(a + b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2$.
Это выражение является полным квадратом разности: $(a - b)^2$.
По условию $a, b$ — натуральные числа и $a > b$, следовательно, разность $a - b$ также является натуральным числом. Значит, $(a - b)^2$ является квадратом натурального числа.
Ответ: Доказано.

д) Упростим выражение, раскрыв скобки по формуле квадрата разности:
$(a - b)^2 + 4ab = a^2 - 2ab + b^2 + 4ab = a^2 + 2ab + b^2$.
Это выражение является полным квадратом суммы: $(a + b)^2$.
По условию $a, b$ — натуральные числа, следовательно, их сумма $a + b$ также является натуральным числом. Значит, $(a + b)^2$ является квадратом натурального числа.
Ответ: Доказано.