Номер 203, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

6.7. Куб суммы. Параграф 6. Формулы сокращенного умножения. Часть 1 - номер 203, страница 72.

Условие.

203. Докажите формулу куба суммы:

$ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $

Доказательство.

$(a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2 = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2) = $

Решение.

Решение 2.

Доказательство.

Чтобы доказать формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, необходимо преобразовать левую часть равенства, раскрыв скобки. Продолжим вычисления, начатые в условии задачи.

Исходное выражение, полученное после применения формулы квадрата суммы:

$(a + b)(a^2 + 2ab + b^2)$

Теперь необходимо умножить многочлен $(a + b)$ на многочлен $(a^2 + 2ab + b^2)$. Для этого умножим каждый член первого многочлена (сначала $a$, а затем $b$) на каждый член второго многочлена:

$a \cdot (a^2 + 2ab + b^2) + b \cdot (a^2 + 2ab + b^2)$

Раскроем скобки, выполнив умножение:

$a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot b^2 = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$

Далее сгруппируем подобные слагаемые (члены, имеющие одинаковую буквенную часть):

$a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3$

Выполнив сложение в скобках, получаем итоговый результат:

$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Таким образом, мы показали, что выражение $(a + b)^3$ равно $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, что и требовалось доказать.

Ответ: $(a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2 = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2) = a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 = a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.