Номер 258, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

8.2. Свойства степени с целым показателем. Параграф 8. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 258, страница 22.

Условие.

258. Найдите значение выражения:

a) $\frac{25^{-3}}{(12,5)^{-3}} = \left(\frac{25}{12,5}\right)^{-3} = \left(\frac{2}{1}\right)^{-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = $

б) $\frac{(13,5)^{-3}}{27^{-3}} = $

в) $\frac{13^{-2}}{(6,5)^{-2}} = $

г) $\frac{(8,5)^{-3}}{17^{-3}} = $

Решение.

Решение 2.

а) Для нахождения значения выражения воспользуемся свойством степени частного: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.

$\frac{25^{-3}}{(12,5)^{-3}} = (\frac{25}{12,5})^{-3}$

Далее упростим дробь, находящуюся в скобках. Поскольку $12,5$ ровно в два раза меньше, чем $25$, получаем:

$\frac{25}{12,5} = 2$

Теперь выражение принимает вид: $2^{-3}$.

Чтобы вычислить значение, используем свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

б) Применим то же свойство степени, что и в предыдущем задании: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.

$\frac{(13,5)^{-3}}{27^{-3}} = (\frac{13,5}{27})^{-3}$

Упростим дробь в скобках. Так как $13,5 \cdot 2 = 27$, то:

$\frac{13,5}{27} = \frac{1}{2}$

Выражение теперь выглядит так: $(\frac{1}{2})^{-3}$.

Воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, чтобы избавиться от отрицательного показателя.

$(\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^3 = 2^3 = 8$.

Ответ: $8$.

в) Снова используем свойство степени частного: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.

$\frac{13^{-2}}{(6,5)^{-2}} = (\frac{13}{6,5})^{-2}$

Упростим дробь в скобках. Так как $6,5 \cdot 2 = 13$, получаем:

$\frac{13}{6,5} = 2$

Получаем выражение: $2^{-2}$.

Применим свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) Для решения этого примера воспользуемся тем же свойством: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.

$\frac{(8,5)^{-3}}{17^{-3}} = (\frac{8,5}{17})^{-3}$

Упростим дробь в скобках. Так как $8,5 \cdot 2 = 17$, то:

$\frac{8,5}{17} = \frac{1}{2}$

Выражение принимает вид: $(\frac{1}{2})^{-3}$.

Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^3 = 2^3 = 8$.

Ответ: $8$.