Номер 257, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

8.2. Свойства степени с целым показателем. Параграф 8. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 257, страница 22.

Условие.

257. Вычислите:

$(0,4)^{-2} \cdot (0,25)^{-2} = (0,4 \cdot 0,25)^{-2} = (0,1)^{-2} = \left(\frac{1}{10}\right)^{-2} = \left(\frac{10}{1}\right)^{2} = 100$

a) $(0,8)^{-3} \cdot (12,5)^{-3} = \dots$

б) $(2,5)^{-3} \cdot (0,4)^{-3} = \dots$

в) $100^{-4} \cdot (-0,001)^{-4} = \dots$

Решение.

Решение 2.

а) Для вычисления выражения $(0,8)^{-3} \cdot (12,5)^{-3}$ воспользуемся свойством степени произведения, которое гласит, что произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$(0,8)^{-3} \cdot (12,5)^{-3} = (0,8 \cdot 12,5)^{-3}$
Сначала вычислим произведение в скобках:
$0,8 \cdot 12,5 = 10$
Теперь подставим полученное значение обратно в выражение:
$(10)^{-3}$
Далее используем определение степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001$
Ответ: $0,001$

б) Для вычисления выражения $(2,5)^{-3} \cdot (0,4)^{-3}$ также применим свойство степени произведения: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$(2,5)^{-3} \cdot (0,4)^{-3} = (2,5 \cdot 0,4)^{-3}$
Вычислим произведение в скобках:
$2,5 \cdot 0,4 = 1$
Подставим результат в выражение:
$(1)^{-3}$
Любая степень единицы равна самой единице.
$1^{-3} = \frac{1}{1^3} = \frac{1}{1} = 1$
Ответ: $1$

в) Для вычисления выражения $100^{-4} \cdot (-0,001)^{-4}$ снова используем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$100^{-4} \cdot (-0,001)^{-4} = (100 \cdot (-0,001))^{-4}$
Вычислим произведение в скобках:
$100 \cdot (-0,001) = -0,1$
Подставим результат в выражение:
$(-0,1)^{-4}$
Представим десятичную дробь $-0,1$ в виде обыкновенной дроби: $-0,1 = -\frac{1}{10}$.
$(-\frac{1}{10})^{-4}$
Применим свойство степени с отрицательным показателем для дробей: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(-\frac{1}{10})^{-4} = (-\frac{10}{1})^4 = (-10)^4$
Так как показатель степени (4) является четным числом, то результат возведения отрицательного числа в эту степень будет положительным.
$(-10)^4 = 10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$
Ответ: $10000$