Номер 264, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

8.4. Преобразование рациональных выражений. Параграф 8. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 264, страница 24.

Условие.

264. Запишите выражение без отрицательных показателей степеней:

$(a+b)^{-1} = \frac{1}{(a+b)^1} = \frac{1}{a+b}; \quad \frac{1}{(a-5)^{-2}} = \left(\frac{1}{a-5}\right)^{-2} = (a-5)^2$

а) $(a-b)^{-2} = \dots$

б) $a^{-1} + b^{-1} = \dots$

в) $a^{-3} - b^{-3} = \dots$

г) $(a^{-3} + 2^{-3})^{-2} = \dots$

д) $(b^{-2} - 5^{-2})^{-3} = \dots$

е) $\frac{1}{(a+b)^{-2}} = \dots$

ж) $\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^{-1} = \dots$

з) $\left(\frac{a-1}{a+1}\right)^{-2} = \dots$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы избавиться от отрицательного показателя степени в выражении $(a - b)^{-2}$, воспользуемся основным свойством степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.
Применив это свойство, где в качестве $x$ выступает выражение $(a - b)$, а $n=2$, получаем:
$(a - b)^{-2} = \frac{1}{(a - b)^2}$.
Ответ: $\frac{1}{(a - b)^2}$

б) В выражении $a^{-1} + b^{-1}$ необходимо преобразовать каждое слагаемое по отдельности, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.
$a^{-1} = \frac{1}{a^1} = \frac{1}{a}$
$b^{-1} = \frac{1}{b^1} = \frac{1}{b}$
Таким образом, исходное выражение становится суммой двух дробей: $a^{-1} + b^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен $ab$:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{b + a}{ab}$.
Ответ: $\frac{a + b}{ab}$

в) Для выражения $a^{-3} - b^{-3}$ применим то же свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ для каждого члена выражения.
$a^{-3} = \frac{1}{a^3}$
$b^{-3} = \frac{1}{b^3}$
Получаем разность дробей: $a^{-3} - b^{-3} = \frac{1}{a^3} - \frac{1}{b^3}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $a^3b^3$:
$\frac{1}{a^3} - \frac{1}{b^3} = \frac{1 \cdot b^3}{a^3 \cdot b^3} - \frac{1 \cdot a^3}{b^3 \cdot a^3} = \frac{b^3 - a^3}{a^3b^3}$.
Ответ: $\frac{b^3 - a^3}{a^3b^3}$

г) В выражении $(a^{-3} + 2^{-3})^{-2}$ сначала преобразуем слагаемые внутри скобок.
$a^{-3} = \frac{1}{a^3}$
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
Сумма в скобках: $\frac{1}{a^3} + \frac{1}{8}$. Приводим к общему знаменателю $8a^3$:
$\frac{1}{a^3} + \frac{1}{8} = \frac{8}{8a^3} + \frac{a^3}{8a^3} = \frac{8 + a^3}{8a^3}$.
Теперь возведем полученную дробь в степень -2, используя свойство $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$:
$(\frac{8 + a^3}{8a^3})^{-2} = (\frac{8a^3}{8 + a^3})^2 = \frac{(8a^3)^2}{(8 + a^3)^2} = \frac{64a^6}{(a^3 + 8)^2}$.
Ответ: $\frac{64a^6}{(a^3 + 8)^2}$

д) В выражении $(b^{-2} - 5^{-2})^{-3}$ сначала упростим выражение в скобках.
$b^{-2} = \frac{1}{b^2}$
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$
Разность в скобках: $\frac{1}{b^2} - \frac{1}{25}$. Приводим к общему знаменателю $25b^2$:
$\frac{1}{b^2} - \frac{1}{25} = \frac{25}{25b^2} - \frac{b^2}{25b^2} = \frac{25 - b^2}{25b^2}$.
Теперь возведем полученную дробь в степень -3, используя свойство $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$:
$(\frac{25 - b^2}{25b^2})^{-3} = (\frac{25b^2}{25 - b^2})^3 = \frac{(25b^2)^3}{(25 - b^2)^3} = \frac{25^3 (b^2)^3}{(25 - b^2)^3} = \frac{15625b^6}{(25 - b^2)^3}$.
Ответ: $\frac{15625b^6}{(25 - b^2)^3}$

е) Для преобразования выражения $\frac{1}{(a + b)^{-2}}$ воспользуемся свойством $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$.
Применив это свойство, где $x = (a+b)$ и $n=2$, получаем:
$\frac{1}{(a + b)^{-2}} = (a + b)^2$.
Ответ: $(a + b)^2$

ж) Для преобразования дроби $(\frac{a + b}{a - b})^{-1}$ используем свойство $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$.
В данном случае $n=1$, поэтому дробь "переворачивается":
$(\frac{a + b}{a - b})^{-1} = (\frac{a - b}{a + b})^1 = \frac{a - b}{a + b}$.
Ответ: $\frac{a - b}{a + b}$

з) Для преобразования дроби $(\frac{a - 1}{a + 1})^{-2}$ также используем свойство $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$.
Применим это свойство при $n=2$:
$(\frac{a - 1}{a + 1})^{-2} = (\frac{a + 1}{a - 1})^2$.
Это выражение можно также записать в виде $\frac{(a + 1)^2}{(a - 1)^2}$.
Ответ: $(\frac{a + 1}{a - 1})^2$