Номер 265, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

8.4. Преобразование рациональных выражений. Параграф 8. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 265, страница 25.

Условие.

265. Запишите выражение без использования степеней с отрицательными показателями:

$(a + b)^{-1} \cdot (a - b)^{-1} = \frac{1}{a + b} \cdot \frac{1}{a - b}$

а) $(a^{-1} - b^{-1})^2 = \ldots$

б) $(a^3 + b^3)^{-2} = \ldots$

в) $(a^{-2} + b^{-2})^3 = \ldots$

г) $(a^{-2} + b^{-2})^{-3} = \ldots$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы преобразовать выражение $(a^{-1} - b^{-1})^2$, воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Заменим $a^{-1}$ на $\frac{1}{a}$ и $b^{-1}$ на $\frac{1}{b}$, после чего выражение примет вид $(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})^2$. Далее приведем дроби в скобках к общему знаменателю $ab$: $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{b-a}{ab}$. Подставим полученное выражение обратно в скобки и возведем в квадрат: $(\frac{b-a}{ab})^2 = \frac{(b-a)^2}{(ab)^2} = \frac{(b-a)^2}{a^2b^2}$.

Ответ: $\frac{(b-a)^2}{a^2b^2}$

б) В выражении $(a^3 + b^3)^{-2}$ применим основное свойство степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. В данном случае в качестве основания $x$ выступает все выражение в скобках $(a^3 + b^3)$, а показатель $n=2$. Таким образом, преобразование выполняется в один шаг: $(a^3 + b^3)^{-2} = \frac{1}{(a^3 + b^3)^2}$.

Ответ: $\frac{1}{(a^3 + b^3)^2}$

в) Рассмотрим выражение $(a^{-2} + b^{-2})^3$. Первым шагом избавимся от отрицательных степеней внутри скобок, используя правило $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$: $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$ и $b^{-2} = \frac{1}{b^2}$. Выражение примет вид $(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2})^3$. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $a^2b^2$: $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2b^2}$. Теперь возведем полученную дробь в куб: $(\frac{a^2+b^2}{a^2b^2})^3 = \frac{(a^2+b^2)^3}{(a^2b^2)^3} = \frac{(a^2+b^2)^3}{a^6b^6}$.

Ответ: $\frac{(a^2+b^2)^3}{a^6b^6}$

г) Для преобразования выражения $(a^{-2} + b^{-2})^{-3}$ сначала упростим выражение в скобках. Как и в предыдущем пункте, $a^{-2} + b^{-2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2b^2}$. Исходное выражение становится равным $(\frac{a^2+b^2}{a^2b^2})^{-3}$. Теперь применим свойство отрицательной степени для дроби: $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$. Получаем: $(\frac{a^2b^2}{a^2+b^2})^3$. Наконец, возводим в степень числитель и знаменатель: $\frac{(a^2b^2)^3}{(a^2+b^2)^3} = \frac{a^6b^6}{(a^2+b^2)^3}$.

Ответ: $\frac{a^6b^6}{(a^2+b^2)^3}$