Номер 267, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

8.4. Преобразование рациональных выражений. Параграф 8. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 267, страница 25.

Условие.

267. Найдите значение выражения при заданном значении буквы:

а) если $a = \frac{1}{2}$, то $\frac{7a^{-2}}{5 + a^{-2}} = \ldots$

б) если $b = 3^{-1}$, то $\frac{12 - b^{-2}}{3 + b^{-2}} = \ldots$

в) если $x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$, то $\frac{8x^{-1}}{x^{-2}} = \ldots$

г) если $a = (0,25)^{-1}$, то $\frac{a - 4}{a^{-1} + a^{-2} + a^{-3}} = \ldots$

Решение.

Решение 2.

а) если $a = \frac{1}{2}$, то $\frac{7a^{-2}}{5 + a^{-2}}$

Сначала вычислим значение $a^{-2}$ при заданном значении $a$. По свойству степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ или $x^{-n} = (\frac{1}{x})^n$:

$a^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$.

Теперь подставим полученное значение $a^{-2} = 4$ в исходное выражение:

$\frac{7a^{-2}}{5 + a^{-2}} = \frac{7 \cdot 4}{5 + 4} = \frac{28}{9}$.

Ответ: $\frac{28}{9}$.

б) если $b = 3^{-1}$, то $\frac{12 - b^{-2}}{3 + b^{-2}}$

Сначала вычислим значение $b^{-2}$. Используем свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$:

$b^{-2} = (3^{-1})^{-2} = 3^{(-1) \cdot (-2)} = 3^2 = 9$.

Теперь подставим найденное значение $b^{-2} = 9$ в выражение:

$\frac{12 - b^{-2}}{3 + b^{-2}} = \frac{12 - 9}{3 + 9} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

в) если $x = (\frac{1}{2})^{-2}$, то $\frac{8x^{-1}}{x^{-2}}$

Для начала упростим данное выражение, используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{8x^{-1}}{x^{-2}} = 8x^{-1 - (-2)} = 8x^{-1+2} = 8x^1 = 8x$.

Теперь вычислим значение переменной $x$:

$x = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.

Подставим значение $x=4$ в упрощенное выражение:

$8x = 8 \cdot 4 = 32$.

Ответ: $32$.

г) если $a = (0,25)^{-1}$, то $\frac{a - 4}{a^{-1} + a^{-2} + a^{-3}}$

Сначала вычислим значение $a$. Для этого представим десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

$a = (0,25)^{-1} = (\frac{1}{4})^{-1} = 4$.

Теперь подставим значение $a = 4$ в числитель исходной дроби:

$a - 4 = 4 - 4 = 0$.

Поскольку числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю (так как $a^{-1} + a^{-2} + a^{-3} = 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3}$ является суммой положительных чисел), то значение всего выражения равно нулю.

$\frac{0}{4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3}} = 0$.

Ответ: $0$.