Номер 266, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

8.4. Преобразование рациональных выражений. Параграф 8. Степень с целым показателем. Часть 2 - номер 266, страница 25.

Условие.

266. Упростите выражение:

а) $(a + b) \cdot (a^2 - b^2)^{-1} = \dots$

б) $(a^{-2} - b^{-2}) \cdot \frac{5ab}{a^2 - b^2} = \dots$

в) $(a^{-2} + b^{-2}) \cdot \frac{3a^2b^2}{a^2 + b^2} = \dots$

г) $\frac{(a + b)^2}{(a - b)^{-2}} \cdot \frac{(a - b)^{-2}}{(a + b)^2} = \dots$

д) $(a^2 + b^2)^{10} \cdot (a^2 + b^2)^{-10} = \dots$

Решение.

Решение 2.

а) $(a + b) \cdot (a^2 - b^2)^{-1}$

Для начала воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. В данном случае $n=1$.

$(a + b) \cdot (a^2 - b^2)^{-1} = (a + b) \cdot \frac{1}{a^2 - b^2} = \frac{a+b}{a^2-b^2}$

Далее, применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ к знаменателю дроби:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Подставим разложенный знаменатель обратно в выражение:

$\frac{a+b}{(a-b)(a+b)}$

Сократим общий множитель $(a+b)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a+b \neq 0$):

$\frac{1}{a-b}$

Ответ: $\frac{1}{a-b}$

б) $(a^{-2} - b^{-2}) \cdot \frac{5ab}{a^2 - b^2}$

Преобразуем выражение в скобках, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$a^{-2} - b^{-2} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $a^2b^2$:

$\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} - \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}$

Подставим полученное выражение в исходное:

$\frac{b^2 - a^2}{a^2b^2} \cdot \frac{5ab}{a^2 - b^2}$

Вынесем знак минус из числителя первой дроби: $b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2)$.

$\frac{-(a^2 - b^2)}{a^2b^2} \cdot \frac{5ab}{a^2 - b^2}$

Сократим общие множители $(a^2 - b^2)$ и $ab$ (при условии, что $a^2-b^2 \neq 0$ и $a,b \neq 0$):

$\frac{-1}{ab} \cdot 5 = -\frac{5}{ab}$

Ответ: $-\frac{5}{ab}$

в) $(a^{-2} + b^{-2}) \cdot \frac{3a^2b^2}{a^2 + b^2}$

Преобразуем выражение в скобках, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$a^{-2} + b^{-2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a^2b^2$:

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2b^2}$

Подставим полученное выражение в исходное:

$\frac{a^2 + b^2}{a^2b^2} \cdot \frac{3a^2b^2}{a^2 + b^2}$

Сократим общие множители $(a^2 + b^2)$ и $a^2b^2$ (при условии, что $a^2+b^2 \neq 0$ и $a,b \neq 0$):

$1 \cdot 3 = 3$

Ответ: $3$

г) $\frac{(a + b)^2}{(a - b)^{-2}} \cdot \frac{(a - b)^{-2}}{(a + b)^2}$

Объединим две дроби в одну, перемножив их числители и знаменатели:

$\frac{(a + b)^2 \cdot (a - b)^{-2}}{(a - b)^{-2} \cdot (a + b)^2}$

Мы видим, что числитель и знаменатель дроби полностью идентичны. Любое выражение, деленное само на себя (при условии, что оно не равно нулю), равно 1.

Другой способ решения — использовать свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$\frac{(a + b)^2}{(a - b)^{-2}} = (a+b)^2 \cdot (a-b)^2$

$\frac{(a - b)^{-2}}{(a + b)^2} = \frac{1}{(a-b)^2 \cdot (a+b)^2}$

Перемножим полученные выражения:

$(a+b)^2 (a-b)^2 \cdot \frac{1}{(a-b)^2 (a+b)^2} = 1$

Ответ: $1$

д) $(a^2 + b^2)^{10} \cdot (a^2 + b^2)^{-10}$

Воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. В данном случае основание $x = a^2+b^2$, а показатели $m=10$ и $n=-10$.

$(a^2 + b^2)^{10 + (-10)} = (a^2 + b^2)^{10 - 10} = (a^2 + b^2)^0$

Любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице ($x^0 = 1$ при $x \neq 0$).

$(a^2 + b^2)^0 = 1$

Ответ: $1$