Номер 275, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

9.2. Линейные уравнения с одним неизвестным. Параграф 9. Линейные уравнения с одним неизвестным. Часть 2 - номер 275, страница 28.

Условие.

275. Равносильны ли уравнения:

а) $8x + 21 = 5x$ и $8x - 5x + 21 = 0$;

б) $8x - 5x + 21 = 0$ и $3x + 21 = 0$;

в) $3x + 21 = 0$ и $3x = -21$;

г) $3x = -21$ и $x = -7$;

д) $8x + 21 = 5x$ и $x = -7$?

Решение.

Решение 2.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если они имеют одинаковые множества решений. Чтобы определить, равносильны ли данные пары уравнений, мы можем либо решить каждое уравнение и сравнить их корни, либо преобразовать одно уравнение в другое с помощью равносильных преобразований.

а) $8x + 21 = 5x$ и $8x - 5x + 21 = 0$
Возьмем первое уравнение $8x + 21 = 5x$.
Перенесем слагаемое $5x$ из правой части уравнения в левую, изменив его знак на противоположный. Это является равносильным преобразованием.
$8x + 21 - 5x = 0$
Поменяв местами слагаемые в левой части, получим:
$8x - 5x + 21 = 0$
Это в точности второе уравнение. Следовательно, уравнения равносильны.
Для проверки можно решить оба уравнения:
1) $8x + 21 = 5x \implies 8x - 5x = -21 \implies 3x = -21 \implies x = -7$.
2) $8x - 5x + 21 = 0 \implies 3x + 21 = 0 \implies 3x = -21 \implies x = -7$.
Корни обоих уравнений совпадают.
Ответ: да, уравнения равносильны.

б) $8x - 5x + 21 = 0$ и $3x + 21 = 0$
В первом уравнении $8x - 5x + 21 = 0$ можно привести подобные слагаемые в левой части.
$8x - 5x = 3x$.
После приведения подобных слагаемых (что является равносильным преобразованием) уравнение примет вид:
$3x + 21 = 0$.
Это второе уравнение. Таким образом, уравнения равносильны.
Решения обоих уравнений: $3x = -21 \implies x = -7$.
Ответ: да, уравнения равносильны.

в) $3x + 21 = 0$ и $3x = -21$
Рассмотрим первое уравнение $3x + 21 = 0$.
Перенесем свободный член $21$ из левой части в правую с противоположным знаком. Это равносильное преобразование.
$3x = -21$.
Мы получили второе уравнение. Следовательно, уравнения равносильны.
Корень каждого из уравнений: $x = -21 / 3 \implies x = -7$.
Ответ: да, уравнения равносильны.

г) $3x = -21$ и $x = -7$
В первом уравнении $3x = -21$, чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $3$.
$x = \frac{-21}{3}$
$x = -7$
Деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число является равносильным преобразованием. В результате мы получили второе уравнение. Значит, уравнения равносильны.
Ответ: да, уравнения равносильны.

д) $8x + 21 = 5x$ и $x = -7$
Решим первое уравнение $8x + 21 = 5x$.
$8x - 5x = -21$
$3x = -21$
$x = -7$
Решением первого уравнения является $x = -7$. Второе уравнение — это и есть $x = -7$.
Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают (состоят из единственного числа $-7$), уравнения равносильны.
Ответ: да, уравнения равносильны.