Номер 299, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

10.4. Способ уравнивания коэффициентов. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 299, страница 41.

Условие.

299. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} 3x + 2y - 8 = 0 \\ 2x + 3y - 7 = 0 \end{cases}$

Уравняем коэффициенты при x, умножив первое уравнение системы на 2, а второе — на 3:

$\begin{cases} 3x + 2y - 8 = 0 \quad | \ 2 \\ 2x + 3y - 7 = 0 \quad | \ 3 \end{cases}$

$\begin{cases} 6x + 4y - 16 = 0 \\ 6x + 9y - 21 = 0 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения системы первое и решим полученное уравнение:

$5y - 5 = 0$

...

Подставим найденное значение y в первое уравнение исходной системы и из полученного уравнения найдём значение x:

$3x + 2 \cdot \text{....} - 8 = 0;$

...

...

Решение системы: $( \dots; \dots ).$

a) $\begin{cases} 5x - 3y - 13 = 0 \\ x + 2y = 0 \end{cases}$

b) $\begin{cases} -7x + 2y - 5 = 0 \\ 2x - 7y - 5 = 0 \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

а) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 3x + 2y - 8 = 0, \\ 2x + 3y - 7 = 0; \end{cases} $
Для решения системы методом сложения уравняем коэффициенты при переменной x. Для этого умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:
$ \begin{cases} 2(3x + 2y - 8) = 0, \\ 3(2x + 3y - 7) = 0; \end{cases} $
$ \begin{cases} 6x + 4y - 16 = 0, \\ 6x + 9y - 21 = 0. \end{cases} $
Теперь вычтем первое уравнение из второго:
$(6x + 9y - 21) - (6x + 4y - 16) = 0$
$6x + 9y - 21 - 6x - 4y + 16 = 0$
$5y - 5 = 0$
Решим полученное уравнение относительно y:
$5y = 5$
$y = 1$
Подставим найденное значение $y = 1$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти x:
$3x + 2(1) - 8 = 0$
$3x + 2 - 8 = 0$
$3x - 6 = 0$
$3x = 6$
$x = 2$
Таким образом, решение системы: $(2; 1)$.
Ответ: $(2; 1)$.

б) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 5x - 3y - 13 = 0, \\ x + 2y = 0; \end{cases} $
Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим x из второго уравнения:
$x = -2y$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$5(-2y) - 3y - 13 = 0$
Решим полученное уравнение относительно y:
$-10y - 3y - 13 = 0$
$-13y - 13 = 0$
$-13y = 13$
$y = -1$
Теперь найдем x, подставив значение $y = -1$ в выражение $x = -2y$:
$x = -2(-1)$
$x = 2$
Решение системы: $(2; -1)$.
Ответ: $(2; -1)$.

в) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} -7x + 2y - 5 = 0, \\ 2x - 7y - 5 = 0. \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 7, чтобы коэффициенты при x стали противоположными числами:
$ \begin{cases} 2(-7x + 2y - 5) = 0, \\ 7(2x - 7y - 5) = 0; \end{cases} $
$ \begin{cases} -14x + 4y - 10 = 0, \\ 14x - 49y - 35 = 0. \end{cases} $
Сложим два полученных уравнения:
$(-14x + 4y - 10) + (14x - 49y - 35) = 0$
$-14x + 14x + 4y - 49y - 10 - 35 = 0$
$-45y - 45 = 0$
Решим это уравнение относительно y:
$-45y = 45$
$y = -1$
Подставим значение $y = -1$ во второе уравнение исходной системы для нахождения x:
$2x - 7(-1) - 5 = 0$
$2x + 7 - 5 = 0$
$2x + 2 = 0$
$2x = -2$
$x = -1$
Решение системы: $(-1; -1)$.
Ответ: $(-1; -1)$.