Номер 12, страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

12 Нужно объявить участникам математической олимпиады (см. задачу 11) граничный балл, то есть наименьший балл, обладатель которого становится призёром или победителем олимпиады. Каким должен быть наименьший граничный балл, чтобы общее количество призёров и победителей:

а) не превышало 30 человек;

б) было не более 10% от общего числа участников? Сколько процентов участников станет победителями и призёрами в этом случае?

Для решения задачи необходимо использовать данные из таблицы распределения баллов участников олимпиады, которая, предположительно, была представлена в задаче 11. Допустим, таблица выглядит следующим образом:

Сначала найдем общее количество участников олимпиады, сложив число участников, получивших каждый из возможных баллов:

$12 + 15 + 23 + 35 + 40 + 42 + 38 + 31 + 22 + 15 + 7 = 280$ участников.

а) не превышало 30 человек;

Граничный балл — это наименьший балл, который позволяет стать призёром. Призёрами становятся участники, набравшие балл не ниже граничного. Нам нужно найти такой граничный балл, чтобы общее число призёров и победителей было не более 30. Будем считать количество участников, начиная с самых высоких баллов, и накапливать их число.

Количество участников, набравших 10 баллов: 7 человек. Это не превышает 30.

Количество участников, набравших 9 или 10 баллов: $15 + 7 = 22$ человека. Это также не превышает 30 ($22 \le 30$).

Количество участников, набравших 8, 9 или 10 баллов: $22 + 15 + 7 = 44$ человека. Это уже больше 30 ($44 > 30$).

Таким образом, чтобы количество призёров не превышало 30, граничный балл должен быть равен 9. В этом случае призёрами станут 22 человека, что удовлетворяет условию. Если бы мы установили граничный балл 8, число призёров стало бы 44, что недопустимо.

Ответ: наименьший граничный балл должен быть 9.

б) было не более 10% от общего числа участников? Сколько процентов участников станет победителями и призёрами в этом случае?

Сначала определим максимально допустимое количество призёров. Общее число участников — 280. Найдём 10% от этого числа:

$280 \cdot \frac{10}{100} = 280 \cdot 0.1 = 28$ человек.

Итак, количество призёров и победителей не должно превышать 28 человек. Снова посчитаем количество участников, начиная с самых высоких баллов, чтобы найти подходящий граничный балл.

Количество участников, набравших 10 баллов: 7 человек ($7 \le 28$).

Количество участников, набравших 9 или 10 баллов: $15 + 7 = 22$ человека ($22 \le 28$).

Количество участников, набравших 8, 9 или 10 баллов: $22 + 15 + 7 = 44$ человека ($44 > 28$).

Следовательно, чтобы количество призёров не превышало 28, наименьший граничный балл должен быть равен 9. При таком балле число призёров составит 22 человека.

Теперь найдём, какой процент от общего числа участников составляют эти 22 призёра. Общее число участников — 280.

Процент призёров = $\frac{\text{число призёров}}{\text{общее число участников}} \cdot 100\% = \frac{22}{280} \cdot 100\% = \frac{11}{140} \cdot 100\% = \frac{1100}{140}\% = \frac{110}{14}\% = \frac{55}{7}\% = 7\frac{6}{7}\%$.

Ответ: наименьший граничный балл должен быть 9. В этом случае победителями и призёрами станут $7\frac{6}{7}\%$ участников.