Страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

12 Нужно объявить участникам математической олимпиады (см. задачу 11) граничный балл, то есть наименьший балл, обладатель которого становится призёром или победителем олимпиады. Каким должен быть наименьший граничный балл, чтобы общее количество призёров и победителей:

а) не превышало 30 человек;

б) было не более 10% от общего числа участников? Сколько процентов участников станет победителями и призёрами в этом случае?

Для решения задачи необходимо использовать данные из таблицы распределения баллов участников олимпиады, которая, предположительно, была представлена в задаче 11. Допустим, таблица выглядит следующим образом:

Сначала найдем общее количество участников олимпиады, сложив число участников, получивших каждый из возможных баллов:

$12 + 15 + 23 + 35 + 40 + 42 + 38 + 31 + 22 + 15 + 7 = 280$ участников.

а) не превышало 30 человек;

Граничный балл — это наименьший балл, который позволяет стать призёром. Призёрами становятся участники, набравшие балл не ниже граничного. Нам нужно найти такой граничный балл, чтобы общее число призёров и победителей было не более 30. Будем считать количество участников, начиная с самых высоких баллов, и накапливать их число.

Количество участников, набравших 10 баллов: 7 человек. Это не превышает 30.

Количество участников, набравших 9 или 10 баллов: $15 + 7 = 22$ человека. Это также не превышает 30 ($22 \le 30$).

Количество участников, набравших 8, 9 или 10 баллов: $22 + 15 + 7 = 44$ человека. Это уже больше 30 ($44 > 30$).

Таким образом, чтобы количество призёров не превышало 30, граничный балл должен быть равен 9. В этом случае призёрами станут 22 человека, что удовлетворяет условию. Если бы мы установили граничный балл 8, число призёров стало бы 44, что недопустимо.

Ответ: наименьший граничный балл должен быть 9.

б) было не более 10% от общего числа участников? Сколько процентов участников станет победителями и призёрами в этом случае?

Сначала определим максимально допустимое количество призёров. Общее число участников — 280. Найдём 10% от этого числа:

$280 \cdot \frac{10}{100} = 280 \cdot 0.1 = 28$ человек.

Итак, количество призёров и победителей не должно превышать 28 человек. Снова посчитаем количество участников, начиная с самых высоких баллов, чтобы найти подходящий граничный балл.

Количество участников, набравших 10 баллов: 7 человек ($7 \le 28$).

Количество участников, набравших 9 или 10 баллов: $15 + 7 = 22$ человека ($22 \le 28$).

Количество участников, набравших 8, 9 или 10 баллов: $22 + 15 + 7 = 44$ человека ($44 > 28$).

Следовательно, чтобы количество призёров не превышало 28, наименьший граничный балл должен быть равен 9. При таком балле число призёров составит 22 человека.

Теперь найдём, какой процент от общего числа участников составляют эти 22 призёра. Общее число участников — 280.

Процент призёров = $\frac{\text{число призёров}}{\text{общее число участников}} \cdot 100\% = \frac{22}{280} \cdot 100\% = \frac{11}{140} \cdot 100\% = \frac{1100}{140}\% = \frac{110}{14}\% = \frac{55}{7}\% = 7\frac{6}{7}\%$.

Ответ: наименьший граничный балл должен быть 9. В этом случае победителями и призёрами станут $7\frac{6}{7}\%$ участников.

13 Электрическую энергию очень трудно запасать в большом количестве (батарейки и аккумуляторы не в счёт). Электростанции производят практически столько электричества, сколько потребляет промышленность, сельское хозяйство и население. Поэтому по производству электроэнергии можно судить о состоянии экономики в стране. В быту количество потреблённой электрической энергии измеряют в киловатт-часах $(кВт \cdot ч)$; в стране — в миллиардах киловатт-часов. В таблице 7 указан объём электроэнергии, произведённой в России в период с 2010 по 2019 г.

Таблица 7. Производство электроэнергии в России, $млрд \ кВт \cdot ч$

Год: 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019

Объём произведённой электроэнергии: 1038 1055 1069 1045 1047 1050 1072 1074 1091 1096

Определите по таблице 7:

а) Сколько электроэнергии было выработано в России в 2012 г.?

б) В каком году электроэнергии было произведено больше: в 2012 или в 2013 г.?

в) В каком году в России было произведено больше всего электроэнергии?

г) Назовите один-два фактора, которые влияют на объём годового потребления электроэнергии в стране.

д)* Как вы думаете, чем объясняется спад в производстве электроэнергии в 2013 г.?

а) Чтобы определить, сколько электроэнергии было выработано в 2012 году, необходимо найти в таблице 7 столбец с годом "2012" и посмотреть соответствующее ему значение в строке "Объём произведённой электроэнергии". Согласно таблице, это значение составляет 1069. Единица измерения, указанная в названии таблицы, – миллиард киловатт-часов (млрд кВт·ч).
Ответ: В 2012 году в России было выработано 1069 млрд кВт·ч электроэнергии.

б) Для ответа на этот вопрос сравним объёмы произведённой электроэнергии за 2012 и 2013 годы, указанные в таблице. В 2012 году было произведено 1069 млрд кВт·ч, а в 2013 году – 1045 млрд кВт·ч. Сравнивая эти два числа, видим, что $1069 > 1045$. Следовательно, в 2012 году электроэнергии было произведено больше.
Ответ: Больше электроэнергии было произведено в 2012 году.

в) Чтобы найти год с максимальным производством электроэнергии за указанный период, нужно найти наибольшее значение в строке "Объём произведённой электроэнергии". Просмотрим все значения с 2010 по 2019 год: 1038, 1055, 1069, 1045, 1047, 1050, 1072, 1074, 1091, 1096. Самое большое значение в этом ряду – 1096, которое соответствует 2019 году.
Ответ: Больше всего электроэнергии в России было произведено в 2019 году.

г) В тексте задачи указано, что объём производства электроэнергии практически равен объёму её потребления промышленностью, сельским хозяйством и населением. Следовательно, на годовой объём потребления влияют:
1. Уровень развития экономики и объём промышленного производства: экономический рост ведёт к увеличению потребления энергии, а спад – к снижению.
2. Климатические условия: холодные зимы и жаркое лето увеличивают потребление электроэнергии на отопление и кондиционирование.
Ответ: Два фактора, которые влияют на объём годового потребления электроэнергии: уровень промышленного производства и климатические (погодные) условия.

д*) Спад в производстве электроэнергии в 2013 году (с 1069 до 1045 млрд кВт·ч) означает, что в стране снизилось её потребление, так как электроэнергию производят в объёмах, близких к спросу. Такое снижение могло быть вызвано одной или несколькими причинами. Наиболее вероятные из них:
1. Замедление темпов экономического роста или спад в энергоёмких отраслях промышленности. Это приводит к уменьшению спроса на электроэнергию со стороны заводов и фабрик.
2. Аномально тёплые погодные условия. Например, более тёплая зима 2013 года по сравнению с 2012 годом могла значительно снизить потребность в энергии для отопления зданий.
Ответ: Спад в производстве электроэнергии в 2013 году, скорее всего, объясняется снижением её потребления из-за замедления темпов экономического развития страны и/или более тёплых погодных условий.

20 На рисунке 15 показано дерево случайного опыта. Сколько элементарных событий в этом опыте благоприятствует событию $A$; событию $B$?

Рисунок 15

Рисунок 16

Дерево случайного опыта, показанное на рисунке 15, иллюстрирует все возможные исходы (элементарные события) данного опыта. Элементарные события соответствуют конечным точкам дерева — его "листьям". События A и B — это промежуточные этапы. Чтобы определить, сколько элементарных событий благоприятствует каждому из этих событий, нужно посчитать количество "листьев", которые произрастают из соответствующей ветви (A или B).

событию A
Найдем количество элементарных событий, благоприятствующих событию A. Для этого посчитаем все конечные точки (листья) на ветвях, исходящих из узла A.
От узла A отходят три ветви:

• Первая ветвь разветвляется на 2 листа.
• Вторая ветвь разветвляется на 3 листа.
• Третья ветвь заканчивается 1 листом.

Следовательно, общее количество элементарных событий, благоприятствующих событию A, равно сумме листьев на всех этих ветвях:
$2 + 3 + 1 = 6$
Ответ: 6.

событию B
Аналогично найдем количество элементарных событий, благоприятствующих событию B. Посчитаем все конечные точки (листья) на ветвях, исходящих из узла B.
От узла B отходят две ветви:

• Первая ветвь разветвляется на 2 листа.
• Вторая ветвь разветвляется на 3 листа.

Общее количество элементарных событий, благоприятствующих событию B, равно сумме листьев на этих ветвях:
$2 + 3 = 5$
Ответ: 5.

21 Вcем пациентам с подозрением на тропическую лихорадку делают тест. Если тест выявляет вирус лихорадки, то результат называется положительным. В редких случаях тест ошибочно показывает наличие вируса у здорового человека, и наоборот — отсутствие вируса у того, кто болен.

Событие «пациент болен» обозначим буквой $B$, а событие «пациент здоров» — буквой $A$. Событие «результат положительный» обозначим буквой $P$, а противоположное — буквой $O$. Сформулируйте словами событие, которое в дереве случайного опыта (рис. 16) изображается цепью:

Рисунок 16

Для того чтобы сформулировать словами события, необходимо сначала расшифровать обозначения, данные в условии задачи и представленные на схеме:
- Событие A: «пациент здоров».
- Событие B: «пациент болен».
- Событие P: «результат теста положительный».
- Событие O: «результат теста отрицательный» (противоположное событию P).

Цепь событий в дереве, например SAO, означает, что сначала наступило событие A (пациент здоров), а затем, при этом условии, наступило событие O (тест отрицательный).

а) SAO;
Эта цепь описывает последовательность двух событий: сначала событие А (пациент здоров), а затем событие О (результат теста отрицательный). Это означает, что здоровый человек прошел тестирование, и тест правильно показал отсутствие у него вируса.
Ответ: Пациент здоров, и результат теста на тропическую лихорадку отрицательный.

б) SBO;
Эта цепь описывает последовательность двух событий: сначала событие B (пациент болен), а затем событие О (результат теста отрицательный). Это означает, что больной человек прошел тестирование, но тест ошибочно показал отсутствие у него вируса (ложноотрицательный результат).
Ответ: Пациент болен, и результат теста на тропическую лихорадку отрицательный.

в) SAP.
Эта цепь описывает последовательность двух событий: сначала событие А (пациент здоров), а затем событие P (результат теста положительный). Это означает, что здоровый человек прошел тестирование, но тест ошибочно показал наличие у него вируса (ложноположительный результат).
Ответ: Пациент здоров, и результат теста на тропическую лихорадку положительный.

22 На рисунке 17 изображено дерево случайного опыта с начальной вершиной S. События C и D показаны закрашенными фигурами. Перечислите элементарные события опыта, благоприятствующие:

а) событию $C$;

б) событию $C \cap D$;

в) событию $\overline{D}$;

г) событию $\overline{C} \cap \overline{D}$.

Рисунок 17

а) событию C;

Событие C представлено на рисунке закрашенной голубой фигурой. Элементарные события, благоприятствующие событию C, — это все конечные вершины дерева (листья), которые находятся внутри этой фигуры. Перечислим их: d, e, f, h. Таким образом, множество элементарных событий для C есть ${d, e, f, h}$.

Ответ: ${d, e, f, h}$.

б) событию C ∩ D;

Событие $C \cap D$ (пересечение событий C и D) — это событие, которое происходит, когда происходят оба события C и D одновременно. На диаграмме это область, где голубая и зеленая фигуры пересекаются (на рисунке она показана более темным сине-зеленым цветом). Элементарное событие, благоприятствующее этому событию, — это конечная вершина, находящаяся в этой общей области. В данном случае в области пересечения находится только одна вершина: h.

Ответ: ${h}$.

в) событию D̄;

Событие $\bar{D}$ (противоположное событию D) — это событие, которое происходит, когда событие D не происходит. Ему благоприятствуют все элементарные события, которые не входят в множество D. Сначала определим множество всех элементарных событий (исходов) опыта $\Omega$. Это все конечные вершины дерева: $\Omega = \{a, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m, n\}$. Событию D, которое представлено зеленой фигурой, благоприятствуют исходы: $D = \{h, k, l, m\}$. Тогда событию $\bar{D}$ будут благоприятствовать все исходы из $\Omega$, кроме тех, что входят в D: $\bar{D} = \Omega \setminus D = \{a, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m, n\} \setminus \{h, k, l, m\} = \{a, b, c, d, e, f, g, n\}$.

Ответ: ${a, b, c, d, e, f, g, n}$.

г) событию C̄ ∩ D̄.

Событие $\bar{C} \cap \bar{D}$ (пересечение противоположных событий) — это событие, которое происходит, когда не происходит ни событие C, ни событие D. Ему благоприятствуют элементарные события, которые не входят ни в C, ни в D. Мы уже знаем множества для C и D: $C = \{d, e, f, h\}$ $D = \{h, k, l, m\}$ Найдем множества для противоположных событий $\bar{C}$ и $\bar{D}$: $\bar{C} = \Omega \setminus C = \{a, b, c, g, k, l, m, n\}$ $\bar{D} = \Omega \setminus D = \{a, b, c, d, e, f, g, n\}$ Теперь найдем пересечение этих множеств: $\bar{C} \cap \bar{D} = \{a, b, c, g, k, l, m, n\} \cap \{a, b, c, d, e, f, g, n\}$. Общими элементами для этих двух множеств являются: a, b, c, g, n. Это те элементарные исходы, которые на диаграмме находятся вне обеих закрашенных фигур C и D.

Ответ: ${a, b, c, g, n}$.

23 Постройте дерево случайного опыта, в котором монету бросают 3 раза. Отметьте в этом дереве цепочки, изображающие элементарные события, благоприятствующие событию:

а) «во второй раз выпал орёл»;

б) «решка выпала ровно 2 раза»;

в) «орлов выпало больше, чем решек».

Случайный опыт заключается в трёхкратном бросании монеты. У каждого броска есть два возможных исхода: выпадение орла (обозначим «О») или решки (обозначим «Р»).

Дерево случайного опыта для этого эксперимента строится следующим образом:

1. Первый бросок: от начальной точки отходят две ветви — О и Р.

2. Второй бросок: от конца каждой из предыдущих ветвей отходят еще по две ветви (О и Р). Получаем 4 комбинации: ОО, ОР, РО, РР.

3. Третий бросок: от конца каждой из четырёх комбинаций отходят еще по две ветви (О и Р). В результате получаем общее число элементарных событий (цепочек), равное $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Полный перечень всех возможных цепочек (элементарных событий): ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР.

Теперь определим цепочки, благоприятствующие каждому из указанных событий.

а) «во второй раз выпал орёл»

Нам нужно найти все цепочки, в которых на второй позиции стоит «О». Проанализировав весь список исходов, выберем подходящие:

Цепочки, где второй результат — орёл: ООО, ООР, РОО, РОР. Всего 4 благоприятствующих исхода.

Ответ: ООО, ООР, РОО, РОР.

б) «решка выпала ровно 2 раза»

Это событие означает, что в последовательности из трёх бросков символ «Р» встречается ровно два раза, а символ «О» — соответственно, один раз. Найдём такие цепочки:

Цепочки с двумя решками: ОРР, РОР, РРО. Всего 3 благоприятствующих исхода.

Ответ: ОРР, РОР, РРО.

в) «орлов выпало больше, чем решек»

В серии из трёх бросков это условие выполняется, если количество орлов равно 2 или 3.
Случай 1: Выпало 3 орла и 0 решек. Этому соответствует одна цепочка: ООО.
Случай 2: Выпало 2 орла и 1 решка. Этому соответствуют три цепочки: ООР, ОРО, РОО.
Объединяя исходы из обоих случаев, получаем 4 благоприятствующие цепочки.

Ответ: ООО, ООР, ОРО, РОО.