Страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

17 В таблице 14 даны четвертные оценки по математике, русскому и иностранному языкам всех учащихся класса.

Таблица 14. Оценки за четверть

Пользуясь таблицей 14, составьте таблицу с результатами подсчёта учеников, которые имеют:

а) пятёрку по математике;

б) пятёрку или четвёрку по русскому языку;

в) пятёрку хотя бы по одному из предметов;

г) пятёрки по двум или трём предметам.

Для решения задачи проанализируем данные из таблицы 14 и составим сводную таблицу с результатами подсчёта. В этой таблице для каждого ученика знаком «+» отметим соответствие каждому из заданных условий. В последней строке приведём итоговое количество учеников для каждого условия.

На основе данной таблицы и исходных данных, дадим ответы на поставленные вопросы.

а) пятёрку по математике;

Подсчитав количество учеников с оценкой «5» по математике в исходной таблице (или количество знаков «+» в столбце «а» сводной таблицы), находим, что это Бодров О., Волин С., Данилов М., Жуков Д., Караваева А., Мельникова М., Оганов А., Островая Е., Пронина Д. Всего $9$ учеников.

Ответ: $9$ учеников.

б) пятёрку или четвёрку по русскому языку;

Подсчитав количество учеников с оценкой «5» или «4» по русскому языку (или количество знаков «+» в столбце «б»), получаем $18$ учеников.

Ответ: $18$ учеников.

в) пятёрку хотя бы по одному из предметов;

Подсчитав количество учеников, у которых есть хотя бы одна оценка «5» по любому из трёх предметов (или количество знаков «+» в столбце «в»), получаем $16$ учеников.

Ответ: $16$ учеников.

г) пятёрки по двум или трём предметам.

Подсчитав количество учеников, у которых есть оценки «5» по двум или трём предметам (или количество знаков «+» в столбце «г»), находим, что это Бодров О., Волин С., Данилов М., Евсеева С., Иванова Е., Караваева А., Островая Е., Петров С., Пронина Д. Всего $9$ учеников.

Ответ: $9$ учеников.

18 По таблице 9 (с. 13) ответьте на следующие вопросы:

а) Какой из товаров самый дорогой?

б) Какой из товаров самый дешёвый?

в) Какого товара решили купить больше всего? Как вы думаете, почему?

г) Какого инвентаря решили купить меньше всего? Как вы думаете, почему?

Для ответа на данные вопросы необходима таблица 9 со страницы 13, которая не была предоставлена. Решение ниже описывает общие принципы, по которым следует отвечать на вопросы, имея данные из таблицы.

а) Какой из товаров самый дорогой?

Чтобы определить самый дорогой товар, нужно найти в таблице столбец с ценами (например, «Цена за единицу» или «Цена, руб.») и сравнить значения для всех товаров. Товар с наибольшей ценой будет самым дорогим.

Ответ: Необходимо найти товар с максимальной ценой в таблице 9.

б) Какой из товаров самый дешёвый?

Чтобы определить самый дешёвый товар, нужно так же посмотреть на столбец с ценами. Товар, у которого цена будет наименьшей, является самым дешёвым.

Ответ: Необходимо найти товар с минимальной ценой в таблице 9.

в) Какого товара решили купить больше всего? Как вы думаете, почему?

Для ответа на этот вопрос нужно найти в таблице столбец, в котором указано количество закупаемого инвентаря (например, «Количество, шт.»). Товар с самым большим значением в этом столбце — это тот, которого решили купить больше всего.

Что касается причины («почему?»), можно предположить несколько вариантов:

• Это может быть самый дешёвый товар, что позволяет купить его в большом количестве.
• Этот товар является расходным материалом (например, воланчики для бадминтона) и требует частой замены.
• Этот инвентарь предназначен для массовых групповых занятий, где каждому участнику требуется свой экземпляр (например, скакалки, коврики для фитнеса).

Ответ: Необходимо найти товар с максимальным значением в столбце «Количество» в таблице 9. Причина, скорее всего, связана с его низкой ценой, высокой потребностью для групповых занятий или тем, что это расходный материал.

г) Какого инвентаря решили купить меньше всего? Как вы думаете, почему?

Аналогично предыдущему пункту, нужно найти товар с наименьшим значением в столбце «Количество».

Возможные причины, почему этого товара купили меньше всего:

• Это самый дорогой товар в списке, и бюджет позволяет купить лишь несколько штук.
• Это долговечный инвентарь, который служит долго и не требует частой замены (например, штанга, силовые тренажёры).
• Это узкоспециализированный инвентарь, который нужен лишь ограниченному числу людей или для редких видов тренировок.
• Этот инвентарь крупногабаритный и для его хранения нужно много места.

Ответ: Необходимо найти товар с минимальным значением в столбце «Количество» в таблице 9. Вероятной причиной является его высокая стоимость, долговечность или специфичность использования.

26 Дан угол. Известно, что истинно утверждение «величина данного угла больше $23^\circ$ и величина данного угла меньше, чем $45^\circ$». Какие из следующих высказываний истинны, а какие — могут оказаться ложными?

а) «Величина данного угла больше $17^\circ$»;

б) «Данный угол — острый»;

в) «Величина данного угла больше $30^\circ$»;

г) «Величина данного угла не меньше, чем $24^\circ$».

Пусть величина данного угла равна $\alpha$. Согласно условию, истинно утверждение, что величина угла находится в интервале от 23° до 45°. Это можно записать в виде строгого двойного неравенства: $23^\circ < \alpha < 45^\circ$.

Проанализируем каждое из предложенных высказываний на основе этого условия.

а) «Величина данного угла больше 17°»
Это высказывание можно записать как $\alpha > 17^\circ$. Так как из условия задачи мы знаем, что $\alpha > 23^\circ$, а число $23$ больше, чем $17$, то из этого следует, что величина угла $\alpha$ всегда будет больше $17^\circ$. Следовательно, это утверждение всегда истинно.
Ответ: истинно.

б) «Данный угол — острый»
Острым называется угол, величина которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$. Условие $23^\circ < \alpha < 45^\circ$ полностью укладывается в диапазон для острого угла ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Любое возможное значение величины данного угла находится между $23^\circ$ и $45^\circ$, а значит, угол всегда будет острым. Таким образом, это утверждение всегда истинно.
Ответ: истинно.

в) «Величина данного угла больше 30°»
Это высказывание можно записать как $\alpha > 30^\circ$. Это утверждение может быть как истинным, так и ложным. Например, если $\alpha = 35^\circ$, то условие $23^\circ < 35^\circ < 45^\circ$ выполняется, и утверждение $\alpha > 30^\circ$ истинно. Однако, если $\alpha = 25^\circ$, то условие $23^\circ < 25^\circ < 45^\circ$ также выполняется, но утверждение $\alpha > 30^\circ$ становится ложным. Поскольку существует хотя бы один случай, когда утверждение ложно, оно не является всегда истинным.
Ответ: может оказаться ложным.

г) «Величина данного угла не меньше, чем 24°»
Фраза «не меньше, чем 24°» означает «больше или равно 24°». В виде неравенства это записывается как $\alpha \ge 24^\circ$. Это утверждение также может оказаться ложным. Например, если величина угла $\alpha = 23.5^\circ$, это значение удовлетворяет исходному условию $23^\circ < 23.5^\circ < 45^\circ$. Однако, $23.5^\circ$ меньше, чем $24^\circ$, поэтому утверждение $\alpha \ge 24^\circ$ в этом случае ложно.
Ответ: может оказаться ложным.

27 Известно, что в доме, где живёт Костя, больше этажей, чем в доме, где живёт Олег. В доме, где живёт Таня, меньше этажей, чем в доме, где живёт Олег, а в доме, где живёт Федя, больше этажей, чем в доме, где живёт Таня. Укажите, какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями.

а) «Дом, где живёт Таня, самый малоэтажный из всех четырёх»;

б) «В доме, где живёт Олег, меньше этажей, чем в доме, где живёт Федя»;

в) «В доме, где живёт Костя, этажей больше, чем в доме, где живёт Таня»;

г) «Среди этих четырёх домов нет двух с одинаковым количеством этажей».

Для решения задачи введем переменные, обозначающие количество этажей в доме каждого из персонажей:

• $К$ — количество этажей в доме Кости;
• $О$ — количество этатей в доме Олега;
• $Т$ — количество этажей в доме Тани;
• $Ф$ — количество этажей в доме Феди.

Исходя из условия задачи, составим систему неравенств:

1. В доме, где живёт Костя, больше этажей, чем в доме, где живёт Олег: $К > О$.
2. В доме, где живёт Таня, меньше этажей, чем в доме, где живёт Олег: $Т < О$.
3. В доме, где живёт Федя, больше этажей, чем в доме, где живёт Таня: $Ф > Т$.

Из первых двух неравенств ($К > О$ и $О > Т$) можно составить общую цепочку: $К > О > Т$.

Теперь проанализируем каждое утверждение на истинность.

а) «Дом, где живёт Таня, самый малоэтажный из всех четырёх»

Из неравенства $К > О > Т$ следует, что дом Тани менее этажный, чем дома Кости и Олега. Третье условие $Ф > Т$ говорит о том, что дом Тани также менее этажный, чем дом Феди. Следовательно, дом Тани имеет наименьшее количество этажей по сравнению с остальными тремя домами. Утверждение истинно.

Ответ: Истинно.

б) «В доме, где живёт Олег, меньше этажей, чем в доме, где живёт Федя»

Из условий нам известно, что $О > Т$ и $Ф > Т$. Эти данные не позволяют однозначно сравнить $О$ и $Ф$. Они оба больше, чем $Т$, но могут находиться в любом соотношении друг с другом.
Пример 1: Пусть $Т=2, О=5, Ф=4$. Все условия ($К>5, 5>2, 4>2$) выполнены. При этом $О > Ф$, и утверждение ложно.
Пример 2: Пусть $Т=2, О=5, Ф=6$. Все условия ($К>5, 5>2, 6>2$) выполнены. При этом $О < Ф$, и утверждение истинно.
Поскольку мы нашли случай, когда утверждение ложно, оно не является всегда истинным.

Ответ: Ложно.

в) «В доме, где живёт Костя, этажей больше, чем в доме, где живёт Таня»

Как было показано ранее, из условий $К > О$ и $О > Т$ следует объединенное неравенство $К > О > Т$. Из этого неравенства напрямую следует, что $К > Т$. Утверждение истинно.

Ответ: Истинно.

г) «Среди этих четырёх домов нет двух с одинаковым количеством этажей»

Из неравенства $К > О > Т$ следует, что количество этажей в домах Кости, Олега и Тани точно различается. Однако нет информации, которая запрещала бы равенство этажей в домах Феди и Олега, или Феди и Кости.
Пример: Пусть $Т=2, О=5, К=10$. Условия $К > О$ и $О > Т$ выполнены. Для Феди требуется только $Ф > Т$. Мы можем выбрать $Ф=5$. В этом случае $Ф = О$, и утверждение о том, что нет домов с одинаковым количеством этажей, становится ложным.

Ответ: Ложно.

28 Даны два утверждения: «Число X больше, чем 10» и «Число X меньше, чем 20». Могут ли оба утверждения оказаться:

а) истинными высказываниями;

б) ложными высказываниями?

а) истинными высказываниями;

Первое утверждение «Число X больше, чем 10» можно записать в виде неравенства: $X > 10$.

Второе утверждение «Число X меньше, чем 20» можно записать в виде неравенства: $X < 20$.

Чтобы оба этих утверждения были истинными, необходимо, чтобы число X удовлетворяло обоим неравенствам одновременно. Это значит, что X должно быть больше 10 и одновременно меньше 20.

Мы можем записать это в виде двойного неравенства: $10 < X < 20$.

Существуют числа, которые удовлетворяют этому условию. Например, можно взять любое число из интервала $(10; 20)$, скажем, $X = 15$. Для этого числа оба утверждения верны: «15 больше, чем 10» — истина, и «15 меньше, чем 20» — тоже истина.

Следовательно, оба утверждения могут оказаться истинными.

Ответ: Да, могут.

б) ложными высказываниями?

Утверждение является ложным, если истинно его отрицание.

Отрицанием утверждения «Число X больше, чем 10» ($X > 10$) является утверждение «Число X не больше, чем 10», то есть $X \leq 10$.

Отрицанием утверждения «Число X меньше, чем 20» ($X < 20$) является утверждение «Число X не меньше, чем 20», то есть $X \geq 20$.

Чтобы оба исходных утверждения были ложными, необходимо, чтобы оба их отрицания были истинными одновременно. То есть, должно существовать такое число X, для которого одновременно выполняются условия: $X \leq 10$ и $X \geq 20$.

Однако не существует ни одного числа, которое было бы одновременно меньше или равно 10 и при этом больше или равно 20. Эти два условия являются взаимоисключающими.

Следовательно, оба утверждения не могут быть ложными одновременно.

Ответ: Нет, не могут.

29 Даны два утверждения: C — «Данное число простое» и B — «Данное число чётное».

a) Сформулируйте утверждение «$C \text{ и } B$». Может ли оно быть истинным?

б) Сформулируйте утверждение «$C \text{ или } B$». Может ли оно быть ложным?

а) Сформулируйте утверждение «С и В». Может ли оно быть истинным?

Утверждение «С и В» является логической конъюнкцией и формулируется так: «Данное число простое и чётное».

Это утверждение будет истинным только в том случае, если оба исходных утверждения — С («Данное число простое») и В («Данное число чётное») — истинны одновременно.

Вспомним определения:

• Простое число — это натуральное число больше $1$, которое имеет ровно два делителя: $1$ и само себя.
• Чётное число — это целое число, которое делится на $2$ без остатка.

Нам нужно найти число, которое является и простым, и чётным. Единственное такое число — это $2$. Число $2$ является чётным. Оно также является простым, так как его единственные делители — это $1$ и $2$. Любое другое чётное число больше $2$ будет делиться не только на $1$ и на себя, но и на $2$, а значит, не будет простым.

Следовательно, для числа $2$ утверждение «Данное число простое и чётное» является истинным.

Ответ: Утверждение «С и В» формулируется как «Данное число простое и чётное». Да, оно может быть истинным, если данное число равно $2$.

б) Сформулируйте утверждение «С или В». Может ли оно быть ложным?

Утверждение «С или В» является логической дизъюнкцией и формулируется так: «Данное число простое или чётное».

Это утверждение будет ложным только в том случае, если оба исходных утверждения — С («Данное число простое») и В («Данное число чётное») — ложны одновременно.

Таким образом, чтобы утверждение «С или В» было ложным, нам нужно найти число, которое:

• не является простым (то есть является составным или числом $1$);
• и при этом не является чётным (то есть является нечётным).

Иными словами, мы ищем нечётное составное число. Такие числа существуют. Например, число $9$.

• Для числа $9$ утверждение С («Данное число простое») ложно, так как $9$ делится на $3$.
• Для числа $9$ утверждение В («Данное число чётное») ложно, так как $9$ — нечётное.

Поскольку для числа $9$ оба утверждения С и В ложны, то и их дизъюнкция «С или В» будет ложной. Другими примерами таких чисел могут служить $15$, $21$, $25$ и т.д. Также можно взять число $1$, которое не является ни простым, ни чётным.

Ответ: Утверждение «С или В» формулируется как «Данное число простое или чётное». Да, оно может быть ложным, например, для любого нечётного составного числа (такого как $9$, $15$, $21$) или для числа $1$.

30 Маша нашла гриб. Мама сказала: «У этого гриба на шляпке чешуйки». Папа сказал: «Этот гриб ядовитый». Составьте из этих утверждений сложное утверждение:

а) с помощью логического союза «и»;

б) с помощью логического союза «или».

Исходные утверждения:

• A: «У этого гриба на шляпке чешуйки».
• B: «Этот гриб ядовитый».

Необходимо составить из них сложные утверждения, используя логические союзы.

а) с помощью логического союза «и»
Логический союз «и» соответствует операции конъюнкции (логического умножения). Утверждение, полученное с помощью конъюнкции, истинно тогда и только тогда, когда истинны оба исходных утверждения. Обозначается как $A \land B$.
Для составления сложного утверждения соединяем исходные высказывания союзом «и». Чтобы фраза звучала более естественно, во второй части можно заменить существительное «гриб» на местоимение «он».
Ответ: У этого гриба на шляпке чешуйки, и он ядовитый.

б) с помощью логического союза «или»
Логический союз «или» соответствует операции дизъюнкции (логического сложения). Утверждение, полученное с помощью дизъюнкции, истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных утверждений. Обозначается как $A \lor B$.
Соединяем исходные высказывания союзом «или», также используя местоимение для лучшего звучания.
Ответ: У этого гриба на шляпке чешуйки, или он ядовитый.

31 Известно, что число $n$ натуральное. Дано утверждение «Число $n$ является квадратом некоторого натурального числа ИЛИ число $n$ не делится на 5». Для каких из предложенных значений $n$ это утверждение ложно?

a) $n = 16$;

б) $n = -15$;

в) $n = 14$;

г) $n = 25$.

Данное утверждение: «Число n является квадратом некоторого натурального числа ИЛИ число n не делится на 5» является логической дизъюнкцией (высказывание формы «A ИЛИ B»). Такое утверждение ложно тогда и только тогда, когда обе его части ложны.

Следовательно, для того чтобы утверждение было ложным, должны одновременно выполняться два условия:

1. Утверждение «Число n является квадратом некоторого натурального числа» должно быть ложным. Это означает, что n не является квадратом натурального числа.
2. Утверждение «Число n не делится на 5» должно быть ложным. Это означает, что n делится на 5.

Проверим каждое из предложенных значений n на соответствие этим двум условиям.

а) n = 16;
Число $n=16$ является квадратом натурального числа, так как $16 = 4^2$. Первая часть исходного утверждения истинна, следовательно, всё утверждение (дизъюнкция) истинно.
Ответ: для $n=16$ утверждение истинно.

б) n = -15;
Проверим оба условия для ложности:
1. Является ли $n=-15$ квадратом натурального числа? Нет, так как квадрат любого натурального числа положителен. Значит, первая часть исходного утверждения ложна.
2. Делится ли $n=-15$ на 5? Да, так как $-15 = 5 \cdot (-3)$. Значит, вторая часть исходного утверждения («число n не делится на 5») ложна.
Поскольку обе части исходного утверждения ложны, всё утверждение является ложным.
Ответ: для $n=-15$ утверждение ложно.

в) n = 14;
Число $n=14$ не делится на 5. Вторая часть исходного утверждения истинна, следовательно, всё утверждение истинно.
Ответ: для $n=14$ утверждение истинно.

г) n = 25;
Число $n=25$ является квадратом натурального числа, так как $25 = 5^2$. Первая часть исходного утверждения истинна, следовательно, всё утверждение истинно.
Ответ: для $n=25$ утверждение истинно.

Таким образом, единственное значение из предложенных, для которого данное утверждение ложно, это $n = -15$.

32 Четверо школьников обсуждали ответ к примеру из учебника по математике.

Коля сказал: «Ответ 9».

Роман ответил: «Ответ — простое число».

Катя добавила: «Ответ — чётное число».

Наташа сказала: «Это число делится на 15».

Оказалось, что один мальчик и одна девочка ответили верно, а двое детей ошиблись. Каков ответ задачи на самом деле?

Для решения задачи проанализируем утверждения четырех школьников, зная, что правду сказали ровно один мальчик (Коля или Роман) и одна девочка (Катя или Наташа). Обозначим искомое число как $X$.

Шаг 1: Анализ утверждений мальчиков.

Утверждения мальчиков:

• Коля: «Ответ 9».
• Роман: «Ответ — простое число».

Предположим, что прав Коля. Тогда $X = 9$. В этом случае утверждение Романа («Ответ — простое число») является ложным, так как 9 — составное число ($9 = 3 \cdot 3$). Это удовлетворяет условию, что прав только один мальчик.

Теперь, при $X = 9$, проверим утверждения девочек:

• Катя: «Ответ — чётное число». Это ложь, так как 9 — нечётное.
• Наташа: «Это число делится на 15». Это ложь, так как 9 не делится на 15.

При таком сценарии обе девочки ошибаются, что противоречит условию задачи, по которому одна девочка должна быть права. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и Коля сказал неправду.

Шаг 2: Выводы из первого шага.

Поскольку Коля ошибся, а один из мальчиков должен быть прав, то правду сказал Роман. Это означает, что искомое число $X$ является простым.

Шаг 3: Анализ утверждений девочек.

Мы знаем, что $X$ — простое число, и одна из девочек (Катя или Наташа) права.

• Катя: «Ответ — чётное число».
• Наташа: «Это число делится на 15».

Рассмотрим утверждение Наташи. Если число $X$ делится на 15, то оно должно делиться на 3 и на 5. Такое число по определению не может быть простым (за исключением самих чисел 3 и 5, которые на 15 не делятся). Это напрямую противоречит истинному утверждению Романа. Следовательно, Наташа ошиблась.

Шаг 4: Определение искомого числа.

Так как Наташа ошиблась, а одна из девочек должна быть права, то правду сказала Катя. Ее утверждение: «Ответ — чётное число».

Таким образом, мы ищем число $X$, которое удовлетворяет двум истинным утверждениям:

1. $X$ — простое число (от Романа).
2. $X$ — чётное число (от Кати).

Единственное число, которое является одновременно и простым, и чётным, — это 2. Любое другое чётное число делится на 2 и не является простым.

Шаг 5: Проверка.

Если ответ — 2, то:

• Коля («Ответ 9») — ошибся.
• Роман («Ответ — простое число») — прав.
• Катя («Ответ — чётное число») — права.
• Наташа («Это число делится на 15») — ошиблась.

Результат: прав один мальчик (Роман) и одна девочка (Катя). Это полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 2.