Номер 27, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

27 Известно, что в доме, где живёт Костя, больше этажей, чем в доме, где живёт Олег. В доме, где живёт Таня, меньше этажей, чем в доме, где живёт Олег, а в доме, где живёт Федя, больше этажей, чем в доме, где живёт Таня. Укажите, какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями.

а) «Дом, где живёт Таня, самый малоэтажный из всех четырёх»;

б) «В доме, где живёт Олег, меньше этажей, чем в доме, где живёт Федя»;

в) «В доме, где живёт Костя, этажей больше, чем в доме, где живёт Таня»;

г) «Среди этих четырёх домов нет двух с одинаковым количеством этажей».

Для решения задачи введем переменные, обозначающие количество этажей в доме каждого из персонажей:

• $К$ — количество этажей в доме Кости;
• $О$ — количество этатей в доме Олега;
• $Т$ — количество этажей в доме Тани;
• $Ф$ — количество этажей в доме Феди.

Исходя из условия задачи, составим систему неравенств:

1. В доме, где живёт Костя, больше этажей, чем в доме, где живёт Олег: $К > О$.
2. В доме, где живёт Таня, меньше этажей, чем в доме, где живёт Олег: $Т < О$.
3. В доме, где живёт Федя, больше этажей, чем в доме, где живёт Таня: $Ф > Т$.

Из первых двух неравенств ($К > О$ и $О > Т$) можно составить общую цепочку: $К > О > Т$.

Теперь проанализируем каждое утверждение на истинность.

а) «Дом, где живёт Таня, самый малоэтажный из всех четырёх»

Из неравенства $К > О > Т$ следует, что дом Тани менее этажный, чем дома Кости и Олега. Третье условие $Ф > Т$ говорит о том, что дом Тани также менее этажный, чем дом Феди. Следовательно, дом Тани имеет наименьшее количество этажей по сравнению с остальными тремя домами. Утверждение истинно.

Ответ: Истинно.

б) «В доме, где живёт Олег, меньше этажей, чем в доме, где живёт Федя»

Из условий нам известно, что $О > Т$ и $Ф > Т$. Эти данные не позволяют однозначно сравнить $О$ и $Ф$. Они оба больше, чем $Т$, но могут находиться в любом соотношении друг с другом.
Пример 1: Пусть $Т=2, О=5, Ф=4$. Все условия ($К>5, 5>2, 4>2$) выполнены. При этом $О > Ф$, и утверждение ложно.
Пример 2: Пусть $Т=2, О=5, Ф=6$. Все условия ($К>5, 5>2, 6>2$) выполнены. При этом $О < Ф$, и утверждение истинно.
Поскольку мы нашли случай, когда утверждение ложно, оно не является всегда истинным.

Ответ: Ложно.

в) «В доме, где живёт Костя, этажей больше, чем в доме, где живёт Таня»

Как было показано ранее, из условий $К > О$ и $О > Т$ следует объединенное неравенство $К > О > Т$. Из этого неравенства напрямую следует, что $К > Т$. Утверждение истинно.

Ответ: Истинно.

г) «Среди этих четырёх домов нет двух с одинаковым количеством этажей»

Из неравенства $К > О > Т$ следует, что количество этажей в домах Кости, Олега и Тани точно различается. Однако нет информации, которая запрещала бы равенство этажей в домах Феди и Олега, или Феди и Кости.
Пример: Пусть $Т=2, О=5, К=10$. Условия $К > О$ и $О > Т$ выполнены. Для Феди требуется только $Ф > Т$. Мы можем выбрать $Ф=5$. В этом случае $Ф = О$, и утверждение о том, что нет домов с одинаковым количеством этажей, становится ложным.

Ответ: Ложно.