Номер 31, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

31 Известно, что число $n$ натуральное. Дано утверждение «Число $n$ является квадратом некоторого натурального числа ИЛИ число $n$ не делится на 5». Для каких из предложенных значений $n$ это утверждение ложно?

a) $n = 16$;

б) $n = -15$;

в) $n = 14$;

г) $n = 25$.

Данное утверждение: «Число n является квадратом некоторого натурального числа ИЛИ число n не делится на 5» является логической дизъюнкцией (высказывание формы «A ИЛИ B»). Такое утверждение ложно тогда и только тогда, когда обе его части ложны.

Следовательно, для того чтобы утверждение было ложным, должны одновременно выполняться два условия:

1. Утверждение «Число n является квадратом некоторого натурального числа» должно быть ложным. Это означает, что n не является квадратом натурального числа.
2. Утверждение «Число n не делится на 5» должно быть ложным. Это означает, что n делится на 5.

Проверим каждое из предложенных значений n на соответствие этим двум условиям.

а) n = 16;
Число $n=16$ является квадратом натурального числа, так как $16 = 4^2$. Первая часть исходного утверждения истинна, следовательно, всё утверждение (дизъюнкция) истинно.
Ответ: для $n=16$ утверждение истинно.

б) n = -15;
Проверим оба условия для ложности:
1. Является ли $n=-15$ квадратом натурального числа? Нет, так как квадрат любого натурального числа положителен. Значит, первая часть исходного утверждения ложна.
2. Делится ли $n=-15$ на 5? Да, так как $-15 = 5 \cdot (-3)$. Значит, вторая часть исходного утверждения («число n не делится на 5») ложна.
Поскольку обе части исходного утверждения ложны, всё утверждение является ложным.
Ответ: для $n=-15$ утверждение ложно.

в) n = 14;
Число $n=14$ не делится на 5. Вторая часть исходного утверждения истинна, следовательно, всё утверждение истинно.
Ответ: для $n=14$ утверждение истинно.

г) n = 25;
Число $n=25$ является квадратом натурального числа, так как $25 = 5^2$. Первая часть исходного утверждения истинна, следовательно, всё утверждение истинно.
Ответ: для $n=25$ утверждение истинно.

Таким образом, единственное значение из предложенных, для которого данное утверждение ложно, это $n = -15$.