Номер 4, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

4 Что можно сказать о высказываниях $A$ и $B$, если высказывание «$\neg (A \land B)$» истинно?

Введем обозначения для логических операций, используемых в задаче:

• Логическое "И" (конъюнкция) — $A \land B$. Это высказывание истинно только тогда, когда истинны и $A$, и $B$.
• Логическое отрицание "НЕ" — $\neg A$. Это высказывание истинно, если $A$ ложно, и ложно, если $A$ истинно.

По условию, высказывание «не (A и B)» является истинным. В символьной записи это выглядит так: $\neg(A \land B) = \text{истина}$.

Операция отрицания («не») инвертирует значение истинности выражения. Если отрицание некоторого выражения истинно, то само это выражение должно быть ложным. Следовательно, из того, что $\neg(A \land B)$ истинно, мы заключаем, что выражение $(A \land B)$ ложно:

$A \land B = \text{ложь}$

Теперь проанализируем, в каких случаях конъюнкция $(A \land B)$ является ложной. Для этого рассмотрим таблицу истинности для операции "И":

Из таблицы видно, что результат $A \land B = \text{ложь}$ имеет место в трех из четырех возможных случаев:

1. Когда $A$ истинно, а $B$ ложно.
2. Когда $A$ ложно, а $B$ истинно.
3. Когда и $A$, и $B$ ложны.

Единственный случай, который невозможен при заданном условии, — это когда оба высказывания, $A$ и $B$, истинны одновременно. Таким образом, мы можем утверждать, что как минимум одно из высказываний ($A$ или $B$) является ложным.

Этот же результат можно получить, применив один из законов де Моргана, который гласит, что $\neg(A \land B)$ логически эквивалентно $(\neg A \lor \neg B)$, где $\lor$ — это операция логического "ИЛИ" (дизъюнкция). Поскольку $\neg(A \land B)$ истинно, то и эквивалентное ему выражение $(\neg A \lor \neg B)$ тоже истинно. Дизъюнкция ("ИЛИ") истинна, если хотя бы одно из составляющих ее высказываний истинно. Это означает, что либо $\neg A$ истинно (т.е. $A$ ложно), либо $\neg B$ истинно (т.е. $B$ ложно), либо они оба истинны (т.е. и $A$, и $B$ ложны). Это полностью подтверждает наш предыдущий вывод.

Ответ: Если высказывание «не (A и B)» истинно, то это означает, что высказывания A и B не могут быть истинными одновременно. По крайней мере одно из них (A или B, или оба сразу) должно быть ложным.