Номер 38, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

38 Приведите пример, показывающий, что следующее высказывание не является истинным. Сформулируйте отрицание. Является ли отрицание истинным высказыванием?

а) «Любое натуральное число является простым или составным».

б) «Любой треугольник является тупоугольным или остроугольным».

а) «Любое натуральное число является простым или составным».

Данное высказывание является ложным. Чтобы доказать это, достаточно привести один пример (контрпример), который ему противоречит.

Пример:
Рассмотрим натуральное число 1. По определению, простое число — это натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя. Число 1 не больше 1, следовательно, оно не является простым. Составное число — это натуральное число, большее 1, которое не является простым. Так как 1 не больше 1, оно не является и составным. Таким образом, число 1 — это натуральное число, которое не является ни простым, ни составным, что опровергает исходное утверждение.

Отрицание:
Отрицанием для высказывания вида «Все А являются Б или В» является высказывание «Существует А, которое не является ни Б, ни В». Таким образом, отрицание исходного высказывания звучит так: «Существует натуральное число, которое не является ни простым, ни составным».

Истинность отрицания:
Это отрицание является истинным высказыванием. Как показано в примере выше, такое число существует — это число 1.

Ответ: Контрпример: число 1. Отрицание: «Существует натуральное число, которое не является ни простым, ни составным». Отрицание является истинным.

б) «Любой треугольник является тупоугольным или остроугольным».

Данное высказывание является ложным.

Пример:
Рассмотрим прямоугольный треугольник, то есть треугольник, у которого один из углов равен $90^\circ$. По определению, остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые (меньше $90^\circ$). Прямоугольный треугольник не является остроугольным, так как один из его углов не меньше, а равен $90^\circ$. По определению, тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов тупой (больше $90^\circ$). Прямоугольный треугольник не является тупоугольным, так как у него нет угла больше $90^\circ$. Следовательно, прямоугольный треугольник является контрпримером.

Отрицание:
Отрицанием исходного высказывания является: «Существует треугольник, который не является ни тупоугольным, ни остроугольным».

Истинность отрицания:
Это отрицание является истинным высказыванием, поскольку такие треугольники существуют — это все прямоугольные треугольники.

Ответ: Контрпример: любой прямоугольный треугольник. Отрицание: «Существует треугольник, который не является ни тупоугольным, ни остроугольным». Отрицание является истинным.