Номер 36, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

36 Монету бросили 3 раза. Для каких элементарных исходов истинно утверждение «$\neg (C \lor D)$»?

a) C: «При первом броске выпала решка»,

D: «При втором броске выпал орёл».

b) C: «Первые два раза монета упала одной и той же стороной»,

D: «При третьем броске выпал орёл».

Выпишите эти элементарные исходы.

Указание. Легче сначала выписать элементарные исходы, при которых истинно утверждение «$C \lor D$».

Для решения задачи сначала определим все возможные элементарные исходы при трёхкратном броске монеты. Обозначим выпадение орла буквой «О», а решки — буквой «Р». Всего существует $2^3 = 8$ элементарных исходов. Запишем их в виде множества $\Omega$ (пространство элементарных исходов):
$\Omega = \{ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР\}$

Нам нужно найти элементарные исходы, для которых истинно утверждение «не ($C$ или $D$)». Это событие является противоположным (дополнением) к событию «$C$ или $D$», которое в теории множеств обозначается как объединение $C \cup D$.
Следовательно, искомое событие — это $\overline{C \cup D}$. По законам де Моргана это эквивалентно событию «не $C$ и не $D$» ($\overline{C} \cap \overline{D}$).
Как предложено в указании, мы сначала найдём множество исходов для события «$C$ или $D$», а затем выберем все исходы из $\Omega$, которые в это множество не вошли.

а)

Событие $C$: «При первом броске выпала решка». Множество исходов для $C$:
$C = \{РОО, РОР, РРО, РРР\}$.

Событие $D$: «При втором броске выпал орёл». Множество исходов для $D$:
$D = \{ООО, ООР, РОО, РОР\}$.

Теперь найдём множество исходов для события «$C$ или $D$» ($C \cup D$), объединив исходы для $C$ и $D$:
$C \cup D = \{РОО, РОР, РРО, РРР, ООО, ООР\}$.

Искомые исходы — это те, для которых утверждение «$C$ или $D$» ложно. Это все исходы из $\Omega$, которые не принадлежат множеству $C \cup D$:
$\overline{C \cup D} = \Omega \setminus (C \cup D) = \{ОРО, ОРР\}$.
Эти исходы соответствуют утверждению «не $C$ и не $D$», то есть «при первом броске выпал орёл И при втором броске выпала решка».
Ответ: ОРО, ОРР.

б)

Событие $C$: «Первые два раза монета упала одной и той же стороной». Это исходы, которые начинаются с «ОО» или «РР». Множество исходов для $C$:
$C = \{ООО, ООР, РРО, РРР\}$.

Событие $D$: «При третьем броске выпал орёл». Это исходы, которые заканчиваются на «О». Множество исходов для $D$:
$D = \{ООО, ОРО, РОО, РРО\}$.

Найдём множество исходов для события «$C$ или $D$» ($C \cup D$):
$C \cup D = \{ООО, ООР, РРО, РРР, ОРО, РОО\}$.

Искомые исходы — это те, которые не входят в $C \cup D$:
$\overline{C \cup D} = \Omega \setminus (C \cup D) = \{ОРР, РОР\}$.
Эти исходы соответствуют утверждению «не $C$ и не $D$», то есть «первые два раза монета упала разными сторонами И при третьем броске выпала решка».
Ответ: ОРР, РОР.