Номер 2, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 Как сформулировать отрицание к утверждению «$A \lor B$»?

Чтобы сформулировать отрицание к утверждению «А или В», необходимо использовать одно из правил математической логики, известное как закон де Моргана. Этот закон описывает, как преобразуются логические операции при отрицании.

Логическое объяснение

Утверждение «А или В» (называемое дизъюнкцией) является истинным, если истинно хотя бы одно из составляющих его утверждений: А, В, или оба сразу. Ложным оно будет только в одном-единственном случае: когда и А, и В являются ложными одновременно.

Отрицание некоторого утверждения — это новое утверждение, которое истинно тогда и только тогда, когда исходное утверждение ложно. Следовательно, отрицание для «А или В» должно быть истинным именно в том случае, когда ложны и А, и В.

Утверждение, которое говорит, что «А ложно» и одновременно «В ложно», записывается как «не А и не В».

Таким образом, отрицанием для «А или В» является утверждение «не А и не В».

Формальное правило (Закон де Моргана)

В математической логике утверждение «А или В» записывается с помощью знака дизъюнкции: $A \lor B$. Отрицание обозначается символом $ \neg $.

Закон де Моргана для дизъюнкции выглядит следующим образом:

$ \neg(A \lor B) \equiv (\neg A) \land (\neg B) $

Где:

• $ \lor $ — это логическое «ИЛИ» (дизъюнкция).
• $ \land $ — это логическое «И» (конъюнкция).
• $ \neg $ — это логическое «НЕ» (отрицание).
• $ \equiv $ — знак логической эквивалентности (равносильности).

Это правило гласит: отрицание дизъюнкции равносильно конъюнкции отрицаний. Проще говоря, чтобы построить отрицание для «А или В», нужно взять отрицание от каждого из утверждений (А и В) и заменить союз «или» на союз «и».

Пример из жизни

Рассмотрим исходное утверждение: «В выходные я буду читать книгу или смотреть фильм».

Здесь можно выделить два простых утверждения:

• А = «В выходные я буду читать книгу»
• В = «В выходные я буду смотреть фильм»

Исходное утверждение имеет вид «А или В».

Чтобы сформулировать его отрицание, применим правило «не А и не В»:

1. Отрицаем А: «В выходные я не буду читать книгу» (это $ \neg A $).
2. Отрицаем В: «В выходные я не буду смотреть фильм» (это $ \neg B $).
3. Заменяем «или» на «и».

В результате получаем отрицание: «В выходные я не буду читать книгу и не буду смотреть фильм».

Это означает, что ни одно из этих двух действий не будет выполнено.

Ответ: Отрицанием к утверждению «А или В» является утверждение «не А и не В».