Номер 32, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

32 Четверо школьников обсуждали ответ к примеру из учебника по математике.

Коля сказал: «Ответ 9».

Роман ответил: «Ответ — простое число».

Катя добавила: «Ответ — чётное число».

Наташа сказала: «Это число делится на 15».

Оказалось, что один мальчик и одна девочка ответили верно, а двое детей ошиблись. Каков ответ задачи на самом деле?

Для решения задачи проанализируем утверждения четырех школьников, зная, что правду сказали ровно один мальчик (Коля или Роман) и одна девочка (Катя или Наташа). Обозначим искомое число как $X$.

Шаг 1: Анализ утверждений мальчиков.

Утверждения мальчиков:

• Коля: «Ответ 9».
• Роман: «Ответ — простое число».

Предположим, что прав Коля. Тогда $X = 9$. В этом случае утверждение Романа («Ответ — простое число») является ложным, так как 9 — составное число ($9 = 3 \cdot 3$). Это удовлетворяет условию, что прав только один мальчик.

Теперь, при $X = 9$, проверим утверждения девочек:

• Катя: «Ответ — чётное число». Это ложь, так как 9 — нечётное.
• Наташа: «Это число делится на 15». Это ложь, так как 9 не делится на 15.

При таком сценарии обе девочки ошибаются, что противоречит условию задачи, по которому одна девочка должна быть права. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и Коля сказал неправду.

Шаг 2: Выводы из первого шага.

Поскольку Коля ошибся, а один из мальчиков должен быть прав, то правду сказал Роман. Это означает, что искомое число $X$ является простым.

Шаг 3: Анализ утверждений девочек.

Мы знаем, что $X$ — простое число, и одна из девочек (Катя или Наташа) права.

• Катя: «Ответ — чётное число».
• Наташа: «Это число делится на 15».

Рассмотрим утверждение Наташи. Если число $X$ делится на 15, то оно должно делиться на 3 и на 5. Такое число по определению не может быть простым (за исключением самих чисел 3 и 5, которые на 15 не делятся). Это напрямую противоречит истинному утверждению Романа. Следовательно, Наташа ошиблась.

Шаг 4: Определение искомого числа.

Так как Наташа ошиблась, а одна из девочек должна быть права, то правду сказала Катя. Ее утверждение: «Ответ — чётное число».

Таким образом, мы ищем число $X$, которое удовлетворяет двум истинным утверждениям:

1. $X$ — простое число (от Романа).
2. $X$ — чётное число (от Кати).

Единственное число, которое является одновременно и простым, и чётным, — это 2. Любое другое чётное число делится на 2 и не является простым.

Шаг 5: Проверка.

Если ответ — 2, то:

• Коля («Ответ 9») — ошибся.
• Роман («Ответ — простое число») — прав.
• Катя («Ответ — чётное число») — права.
• Наташа («Это число делится на 15») — ошиблась.

Результат: прав один мальчик (Роман) и одна девочка (Катя). Это полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 2.