Номер 29, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

29 Даны два утверждения: C — «Данное число простое» и B — «Данное число чётное».

a) Сформулируйте утверждение «$C \text{ и } B$». Может ли оно быть истинным?

б) Сформулируйте утверждение «$C \text{ или } B$». Может ли оно быть ложным?

а) Сформулируйте утверждение «С и В». Может ли оно быть истинным?

Утверждение «С и В» является логической конъюнкцией и формулируется так: «Данное число простое и чётное».

Это утверждение будет истинным только в том случае, если оба исходных утверждения — С («Данное число простое») и В («Данное число чётное») — истинны одновременно.

Вспомним определения:

• Простое число — это натуральное число больше $1$, которое имеет ровно два делителя: $1$ и само себя.
• Чётное число — это целое число, которое делится на $2$ без остатка.

Нам нужно найти число, которое является и простым, и чётным. Единственное такое число — это $2$. Число $2$ является чётным. Оно также является простым, так как его единственные делители — это $1$ и $2$. Любое другое чётное число больше $2$ будет делиться не только на $1$ и на себя, но и на $2$, а значит, не будет простым.

Следовательно, для числа $2$ утверждение «Данное число простое и чётное» является истинным.

Ответ: Утверждение «С и В» формулируется как «Данное число простое и чётное». Да, оно может быть истинным, если данное число равно $2$.

б) Сформулируйте утверждение «С или В». Может ли оно быть ложным?

Утверждение «С или В» является логической дизъюнкцией и формулируется так: «Данное число простое или чётное».

Это утверждение будет ложным только в том случае, если оба исходных утверждения — С («Данное число простое») и В («Данное число чётное») — ложны одновременно.

Таким образом, чтобы утверждение «С или В» было ложным, нам нужно найти число, которое:

• не является простым (то есть является составным или числом $1$);
• и при этом не является чётным (то есть является нечётным).

Иными словами, мы ищем нечётное составное число. Такие числа существуют. Например, число $9$.

• Для числа $9$ утверждение С («Данное число простое») ложно, так как $9$ делится на $3$.
• Для числа $9$ утверждение В («Данное число чётное») ложно, так как $9$ — нечётное.

Поскольку для числа $9$ оба утверждения С и В ложны, то и их дизъюнкция «С или В» будет ложной. Другими примерами таких чисел могут служить $15$, $21$, $25$ и т.д. Также можно взять число $1$, которое не является ни простым, ни чётным.

Ответ: Утверждение «С или В» формулируется как «Данное число простое или чётное». Да, оно может быть ложным, например, для любого нечётного составного числа (такого как $9$, $15$, $21$) или для числа $1$.