Номер 28, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

28 Даны два утверждения: «Число X больше, чем 10» и «Число X меньше, чем 20». Могут ли оба утверждения оказаться:

а) истинными высказываниями;

б) ложными высказываниями?

а) истинными высказываниями;

Первое утверждение «Число X больше, чем 10» можно записать в виде неравенства: $X > 10$.

Второе утверждение «Число X меньше, чем 20» можно записать в виде неравенства: $X < 20$.

Чтобы оба этих утверждения были истинными, необходимо, чтобы число X удовлетворяло обоим неравенствам одновременно. Это значит, что X должно быть больше 10 и одновременно меньше 20.

Мы можем записать это в виде двойного неравенства: $10 < X < 20$.

Существуют числа, которые удовлетворяют этому условию. Например, можно взять любое число из интервала $(10; 20)$, скажем, $X = 15$. Для этого числа оба утверждения верны: «15 больше, чем 10» — истина, и «15 меньше, чем 20» — тоже истина.

Следовательно, оба утверждения могут оказаться истинными.

Ответ: Да, могут.

б) ложными высказываниями?

Утверждение является ложным, если истинно его отрицание.

Отрицанием утверждения «Число X больше, чем 10» ($X > 10$) является утверждение «Число X не больше, чем 10», то есть $X \leq 10$.

Отрицанием утверждения «Число X меньше, чем 20» ($X < 20$) является утверждение «Число X не меньше, чем 20», то есть $X \geq 20$.

Чтобы оба исходных утверждения были ложными, необходимо, чтобы оба их отрицания были истинными одновременно. То есть, должно существовать такое число X, для которого одновременно выполняются условия: $X \leq 10$ и $X \geq 20$.

Однако не существует ни одного числа, которое было бы одновременно меньше или равно 10 и при этом больше или равно 20. Эти два условия являются взаимоисключающими.

Следовательно, оба утверждения не могут быть ложными одновременно.

Ответ: Нет, не могут.